Bài tập Tổ hợp - Xác suất Toán lớp 11 có đáp án

16:47 15/07/2017

Tổ hợp - Tổ hợp lặp sẽ là dạng bài tiếp theo trong chuyên đề Tổ hợp - Xác suất mà Lize giới thiệu tới các em. Bài viết cũng sẽ đưa ra một số bài tập về tổ hợp xác suất có đáp án và lời giải.

Tổ hợp - Tổ hợp lặp - Toán học lớp 11

  • Tổ hợp
  • Tổ hợp lặp
  • Bài tập tổ hợp xác suất có đáp án và lời giải

Tổ hợp xác suất là một trong những dạng Toán quan trọng, và chắc chắn sẽ xuất hiện trong Đề thi THPT Quốc Gia môn Toán các năm tới. Luyện tập với một số bài tập Tổ hợp xác suất có đáp án chắc chắn sẽ giúp em tự tin hơn trong các bài kiểm tra trên lớp.

Tổ hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp A (gồm $n \ge 1$ phần tử). Mỗi tập con gồm $k$ phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho $0 \le k \le n$.

Kí kiệu:

$C_n^k$ $\left( {0 \le k \le n} \right)$ là số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử.

Công thức:

$C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}$.

Chú ý

$\begin{array}{l} C_n^0 = C_n^n = 1\\ C_n^k = C_n^{n - k}\,\,\left( {0 \le k \le n} \right)\\ C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\,\,\left( {0 \le k \le n} \right) \end{array}$

Ví dụ: Một nông dân có 6 con bò, 4 con heo. Một nông dân khác đến hỏi mua 4 còn bò và 2 con heo. Hỏi có mấy cách chọn mua?

Lời giải

Chọn 4 con bò trong 6 con bò là tổ hợp chập 4 của 6 phần tử có $C_6^4$ cách chọn.

Chọn 2 con bò trong 4 con bò là tổ hợp chập 2 của 4 phần tử có $C_4^2$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn mua cả bò và heo là

$C_6^4.C_4^2 = 90$ cách chọn.

Ví dụ. Trong một kì thi, mỗi sinh viên phải trả lời 3 trong 5 câu hỏi.

a) Có mấy cách chọn ra 3 trong 5 câu hỏi đó?

b) Có mấy cách chọn ra 3 trong 5 câu hỏi nếu trong 5 câu hỏi đó có một câu bắt buộc?

Lời giải

a) Chọn 3 trong 5 câu hỏi là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử, có $C_5^3 = 10$ cách chọn.

b) Chọn 2 trong 4 câu hỏi còn lại là tổ hợp chập 2 của 4 phần tử, có $C_4^2 = 6$ cách chọn.

Tổ hợp lặp

Định nghĩa

Mỗi cách chọn ra k vật từ m vật khác nhau (trong đó mỗi loại vật có thể được chọn đi chọn lại nhiều lần) được gọi là một tổ hợp lặp chập k của n phần tử.

Công thức:

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là $C_{n + k + 1}^k$.

Chú ý:

Tổ hợp có lặp lại khi một phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tự của các phần tử không cần để ý.

Ví dụ đầu tiên sẽ là một hệ quả quan trọng.

Ví dụ: Giả sử có n viên bi giống nhau và m cái hộp, ta xếp bi vào các hộp. Gọi ${x_i}$ với $i = 1,2,3,...,m$ là số bi ở hộp $i$. Chứng minh rằng:

a) Số cách xắp khác nhau n viên bi vào m cái hộp là $C_{m + n - 1}^n$.

b) Trong $C_{m + n - 1}^n$ cách xếp đó có $C_{n - 1}^{m - 1}$ cách xếp cho tất cả các hộp đều có bi.

Lời giải

a) Ta biểu diễn m cái hộp từ m+1 gạch thẳng đứng, còn các viên bi biểu diễn bằng các ngôi sao (*). Chẳng hạn như

Như vậy ở ngoài cùng luôn là các vạch thẳng đúng, còn lại $m - 1$ vạch thẳng đúng và n viên bi được sắp xếp theo thứ tự tùy ý. Như vậy số cách xếp khác nhau bằng số cách chọn n phần tử trong tập hợp $m - 1 + n$ phần tử (cả vạch và ngôi sao), đó chính là $C_{m + n - 1}^n$.

b) Trong trường hợp mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi tương ứng với cách biểu diễn mỗi vạch phải bao gồm giữa hai ngôi sao. Nhưng có tất cả $n - 1$ khoảng trống giữa n ngôi sao. Vì vậy phải xếp $m - 1$ vạch vào $n - 1$ khoảng trống đó. Vậy có tất cả $C_{n - 1}^{m - 1}$ cách xếp.

Hệ quả.

a) Số các nghiệm tự nhiên của phương trình

${x_1} + {x_2} + ... + {x_m} = n$ $\left( {n,m \in {N^*}} \right)$ là $C_{n + m - 1}^n$.

b) Số các nghiệm nguyên dương của phương trình

${x_1} + {x_2} + ... + {x_m} = n$ $\left( {m \le n;m,n \in {N^*}} \right)$ là $C_{n - 1}^{m - 1}$.

Để thấy được ứng dụng của hệ quả trên ta xét ví dụ sau:

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chia 100 đồ vật giống nhay cho 4 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật?

Lời giải

 Giả sử 100 đồ vật được xếp thành hàng hang, giữa chúng có 99 khoảng trống. Đặt một cách bất kì 3 vạch vào trong số 99 khoảng trống đó ra được một cách chia 100 đồ vật ra thành 4 phần để lần lượt gán cho 4 người. Khi đó mỗi người được ít nhất 1 đồ vật và tổng đồ vật của 4 người bằng 100, thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy số cách chia đồ vật thỏa mãn là $C_{99}^3 = 15849$ cách.

Bài tập tổ hợp xác suất có đáp án và lời giải

Lize sẽ đưa ra một số bài tập tổ hợp xác suất với đầy đủ đáp án và lời giải, bao gồm cả bài tập tổ hợp xuất suất cơ bản và nâng cao. 

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm nhiều Tài liệu ôn thi thật bổ ích nữa từ Lize nhé.

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Tài liệu khác khi Lize cập nhật nhé.

\
X