Bài tập Trắc nghiệm Hoán vị toán lớp 11 có đáp án

14:53 15/07/2017

Cho tập hợp $A$ (gồm $n \ge 1$ phần tử). Một cách sắp thứ tự $n$ phần tử của tập hợp $A$ được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.

Trong bài viết này, Lize sẽ giới thiệu với các em một trong những dạng toán quan trọng lớp 11, có thể sẽ có mặt trong những đề thi đại học các năm tới. Đó là Hoán vị.

Hoán vị - Toán học lớp 11

  • Hoán vị
  • Hoán vị lặp
  • Bài tập hoán vị có đáp án

Hoán vị

Định nghĩa

Cho tập hợp $A$ (gồm $n \ge 1$ phần tử). Một cách sắp thứ tự $n$ phần tử của tập hợp $A$ được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.

Kí hiệu: ${P_n}$ là số các hoán vị của $n$ phần tử.

${P_n} = n! = 1.2.3...\left( {n - 1} \right).n$.

Ở đây chúng ra đưa ra định nghĩa hàm giai thừa:

Giai thừa của số tự nhiên $n$ được kí hiệu là $n!$ được định nghĩa là tích của $n$ số tự nhiên liên tiếp từ $1$ đến $n$.

 

Quy ước: $0! = 1$.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách?

Lời giải.

Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là một hoán vị của 5 phần tử.

Vậy có ${P_5} = 5! = 120$ cách sắp xếp.

Ví dụ 2. Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?

&Lời giải.

Gọi $A = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} $ với ${a_1} \ne 0$ và ${a_1},{a_2},{a_3},{a_4},{a_5}$ phân biệt là số cần lập.

+ Chữ số ${a_1} \ne 0$ nên có 4 cách chọn ${a_1}$.

+ Sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có $4! = 24$ cách.

Vậy có $4.24 = 96$ số.

Hoán vị lặp

Định nghĩa

Hoán vị mà trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lần được gọi là hoán vị lặp.

Ví dụ minh họa

Có thể lập được bao nhiêu hoán vị khác nhau từ chữ “GSTTGROUP” gồm 9 chữ cái nên số hoán vị là ${P_9} = 9!.$

Tuy nhiên, ta nhanh chóng phát hiên ra rằng hoán vị thông thường chỉ áp dụng cho những dãy mà các ký tự trong đó đôi một khác nhau, không thể áp dụng trong trường hợp này vì khi đổi chỗ 2 chữ $T$ cho nhau ta sẽ không tạo được một dãy mới trong khi vẫn bị đếm trong biểu thức ${P_9} = 9!.$

Vậy ta phải giải quyết vấn đề này thế nào?

Lời giải

Bài toán này có thể giải theo cách như sau:

Chọn 2 vị trí để đặt các chữ $G$ có $C_9^2$ cách.

Chọn 2 vị trí để đặt các chữ $T$ có $C_7^2$ cách.

Hoán vị 5 chữ còn lại vào 5 vị trí có ${P_5} = 5!$ cách.

Vậy tổng số cách xếp là $C_9^2.C_7^2.5! = 90720$ cách

Tuy nhiên, ta đang xây dựng công thức hoán vị lặp nên phải trình bàu cách gần với nó nhất.

Bằng cách lập luận tương tự ví dụ trên ta có thể chứng minh được định lý sau:

Định lý: Số hoán vị của n phần từ (n phần tử này được chia làm $k$ ($0 \le k \le n$) loại khác nhau, các phần tử giống nhau thuộc cùng một loại). Trong đó, có ${n_1}$ phần tử như nhau thuộc loại 1, ${n_2}$ phần tử như nhau thuộc loại $2$,…, và ${n_k}$ phần tử như nhau thuộc loại $k$ bằng

$n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}$

Chứng minh. Để xác định số hoán vị trước tiên chúng ra nhận thấy có:

- $C_n^{{n_1}}$ cách giữ chỗ cho ${n_1}$ phần tử loại 1, còn lại $n - {n_1}$ chỗ trống.

- Sau đó có $C_{n - {n_1}}^{{n_2}}$ cách đặt ${n_2}$ phần tử loại 2 vào hoán vị, còn lại $n - {n_1} - {n_2}$ chỗ trống.

- Tiếp tục các phần tử loại 3, loại 4, … loại $k - 1$ vào chỗ trống trong hoán vị. Cuối cùng có $C_{n - {n_1} - ... - {n_k}}^{{n_k}}$ cách đặt ${n_k}$ phần tử loại k vào hoán vị.

Theo quy tắc nhân, tất cả các hoán vị có thể là

Như trong ví dụ trên ta có ${n_1} = {n_2} = 2;{n_3} = {n_4} = {n_5} = {n_6} = {n_7} = 1$

Khi đó

Bài tập hoán vị có đáp án

Hoán vị bên cạnh chỉnh hợp, tổ hợp sẽ là những dạng toán rất cần chú ý trong Toán lớp 11. Cùng tham khảo một số bài tập hoán vị có đáp án nhé. Để xem đáp án và lời giải các em có thể Click và nút Xem đáp án ở phần cuối. 

 

 

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm nhiều Tài liệu ôn thi thật bổ ích nữa từ Lize nhé.

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Tài liệu khác khi Lize cập nhật nhé.

X