Bài tập Trắc nghiệm phương trình Lượng giác có đáp án

16:14 09/11/2016

Bài tập phương trình lượng giác chia ra làm 4 dạng cơ bản. Các dạng bài tập này đều có thể xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia hay đề thi đại học. Khi mà hình thức thi năm 2017 là trắc nghiệm thì chắc chắn rằng Lượng giác vẫn sẽ là mảng kiến thức không thể thiếu trong chương trình ôn thi Đại học.

Phương trình lượng giác

bài tập phương trình lượng giác

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Phương trình bậc nhất đối với ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$ và $\cos x$ dạng \[a\sin x + b\cos x = c\].

a) Cách giải phương trình:

- Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$.

- Nếu phương trình có nghiệm, thực hiện chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $.

b) Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số có dạng $y = a{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + bcosx + c$

Phương pháp:

Cách 1.

Ta có $y = a{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + bcosx + c \Leftrightarrow a{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + bcosx + c - y = 0$(*)

Ta xem phương trình (*) như phương trình bậc nhất đối với $\sin x$và $\cos x$ nên để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ${a^2} + {b^2} \ge {(c - y)^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le y - c \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow c - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le y \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c \end{array}$

$\min y = c - \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ khi $c - \sqrt {{a^2} + {b^2}} = a\sin x + b\cos x + c$

phương pháp giải bài tập phương trình lượng giác

 

 

 

 

$\max y = c + \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ khi $c + \sqrt {{a^2} + {b^2}} = a\sin x + b\cos x + c$

các dạng bài tập phương trình lượng giác

 

 

 

 

(với $\alpha $ thỏa mãn $\cos \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }};\sin \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ ).

Cách 2.

Ta có $y = a{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + bcosx + c \Leftrightarrow y - c = a{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + bcosx$

$ \Leftrightarrow \frac{{y - c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin (x + \alpha ).$

&Dựa vào đánh giá $ - 1 \le \sin (x + a) \le 1$ để đánh GTNN và GTLN của hàm số $y$.

Dạng 2: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với một hàm lượng giác

a) Cách giải

Nhận dạng

Cách giải

Điều kiện

$a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0$

Đặt $\sin x = t$

$\left| t \right| \le 1$

$a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0$

Đặt $\cos x = t$

$\left| t \right| \le 1$

$a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0$

Đặt $\tan x = t$

$x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \backslash mathbb\{ Z\} $

$a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0$

Đặt $\cot x = t$

$x \ne k\pi ,\,\,k \in \backslash mathbb\{ Z\} $

 

 

b) Bài toán tìm min, max của phương trình thuần nhất bậc hai đối với một hàm lượng giác

Phương pháp:

Đưa hàm số đã cho về dạng phương trình bậc hai để tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai.

Dạng 3. Phương trình đẳng cấp bậc hai  đối với $\sin x$  và $\cos x$

\[a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = 0\]

a) Cách giải

Xét 2 trường hợp:

TH1. $\cos x = 0$ có phải là nghiệm của phương trình hay không.

TH2. $\cos x \ne 0$, chia cả hai về của phương trình cho ${\cos ^2}x$ ta được phương trình bậc hai với ẩn số là $\tan x$.

Dạng 4. Xét tính tuần hoàn và chu kì của hàm số

Định nghĩa:

Hàm số $y = f(x)$ xác định trên D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu

$\exists T \ne 0$ sao cho $\left\{ \begin{array}{l} \forall x \in D \Rightarrow x \pm T \in D\\ f(x + T) = f(x),\,\,\,\forall x \in D \end{array} \right.$

Nếu tồn tại $T > 0$ nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trến thì T được gọi là chi kì tuần hoàn của hàm số \[y = f(x)\].

Ví dụ

Bài 1. Giải phương trình \[\sqrt 3 \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin 2x\].

Giải

Phương trình đã cho tương đương với

bài tập phương trình lượng giác có đáp án

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\sin x + \cos x + 2}}$

TXĐ: x thuộc R

Biến đổi hàm số đã cho về dạng

$(1 - y)\sin x + (2 - y)\cos x + 1 - 2y = 0.\,\,\,(*)$

Ta xem phương trình (*) như một phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$ nên để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

${(1 - 2y)^2} \le {(1 - y)^2} + {(2 - y)^2} \Leftrightarrow 2{y^2} + 2y - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le y \le 1$

$\min y = - 2$ khi $3\sin x + 4\cos x + 5 = 0$ (thay $y = - 2$ vào (*))

$ \Leftrightarrow $ $ \Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x + \frac{4}{5}\cos x = - 1 \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = - 1 \Leftrightarrow x = - \alpha - \frac{\pi }{2} + k2\pi $, .

$\max y = 1$ khi $\cos x = 1$ (thay $y = 1$ vào (*)) $ \Leftrightarrow x = k2\pi $.

Bài 3. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của hàm số y = x + sin x

TXĐ: D = R

Giả sử $f(x + T) = f(x),\,\,\forall x \in D.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + T} \right) + \sin \left( {x + T} \right) = x + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} ,\,\,\,\forall x \in D\\ \Leftrightarrow T + sin\,\left( {x + T} \right) = \sin x,\,\,\,\forall x \in D\,\,\,\,\,\,(*). \end{array}$

Cho $x = 0$ và $x = \pi $, ta được \[\left\{ \begin{array}{l} T + \sin T = \sin 0 = 0\\ T + \sin (\pi + T) = sin\pi = 0 \end{array} \right.\]

Do đó $2T + \sin T + \sin \left( {\pi + T} \right) = 0 \Leftrightarrow T = 0$ (không thỏa mãn vì $T > 0$).

Vậy hàm số đã cho không là hàm tuần hoàn.

Trắc nghiệm phương trình lượng giác

Với kho dữ liệu khổng lồ của mình, các bạn sẽ có 1 lượng bài tập trắc nghiệm Toán rất lớn để luyện tập nếu như đăng ký khóa học tại đây. Cùng thử trải nghiệm nhé.


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Khóa Hóa học lớp 11

Thầy Phạm Thắng

Học phí: 349K

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm nhiều Tài liệu ôn thi thật bổ ích nữa từ Lize nhé.

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Tài liệu khác khi Lize cập nhật nhé.

X