Bài tập Trắc nghiệm viết phương trình mặt phẳng có đáp án

15:58 14/12/2016

Với bài toán viết phương trình mặt phẳng, có 4 dạng mà học sinh thường gặp phải. Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải 4 dạng bài tập này và luyện tập với một số bài tập trắc nghiệm Toán chuyên đề viết phương trình mặt phẳng nhé.

Viết phương trình mặt phẳng

viết phương trình mặt phẳng

Các dạng bài tập cơ bản

Lý thuyết

1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P): $\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 $ là vecto pháp tuyến của $\left( P \right)$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow n  \bot \left( P \right).$

2. Cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P): haivecto không cùng phương $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng $\left( P \right)$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow a ,\overrightarrow b $ có giá cùng song song với $\left( P \right).$

3. Quan hệ giữa vecto pháp tuyến $\overrightarrow n $  và cặp vecto chỉ phương $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $: $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]$

4. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua ${M_o}\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)$ có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {A,B,C} \right)$ là: $\left( P \right):A\left( {x - {x_o}} \right) + B\left( {y - {y_o}} \right) + C\left( {z - {z_o}} \right) = 0.$

Phương trình mặt phẳng dạng tổng quát $\left( P \right):Ax + By + Cx + D = 0$ thì có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {A,B,C} \right).$

5. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)$ là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: $\left( {Oyz} \right):x = 0;\left( {Oxz} \right):y = 0,\left( {Oxy} \right):z = 0.$

7. Khoảng cách từ ${M_o}\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ là $d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.$

8. Góc giữa hai mặt phẳng: $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$và $\left( {P'} \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ là $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}.$

Nhận xét: Muốn viết phương trình mặt phẳng thì có hai phương pháp chính:

Phương pháp 1. Xác định 1 điểm mà mặt phẳng đi qua và 1 VTPT.

Phương pháp 2. Xác định 1 VTPT và tham số D trong phương trình dạng tổng quát:$\left( P \right):Ax + By + Cx + D = 0$.

Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): $x--3y + 2z--5 = 0$. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Giải.

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT $\vec n = \left[ {{{\vec n}_P},\overrightarrow {AB} } \right] = (0; - 8; - 12) \ne \overrightarrow 0 $

⇒ $(Q):2y + 3z - 11 = 0$

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm $A(2;1;3),\,B(1; - 2;1)$ và song song với đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + t\\ y = 2t\\ z = - 3 - 2t \end{array} \right.$ .

Giải.

Ta có $\overrightarrow {BA} = (1;3;2)$, d có VTCP $\vec u = (1;2; - 2)$.

Gọi $\vec n$ là VTPT của (P) ⇒ $\left\{ \begin{array}{l} \vec n \bot \overrightarrow {BA} \\ \vec n \bot \vec u \end{array} \right.$ ⇒ chọn $\vec n = \left[ {\overrightarrow {BA} ,\vec u} \right] = ( - 10;4; - 1)$

⇒ Phương trình của (P): $10x - 4y + z - 19 = 0$.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): $x + y + z = 0$ và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng $\sqrt 2 $.

Giải.

PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: ${\rm{Ax}} + By + C{\rm{z}} = 0$ (với ${A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0$).

  • Vì (P)  (Q) nên: $1.A + 1.B + 1.C = 0$ ⇔ $C = - A - B$ (1)
  • $d(M,(P)) = \sqrt 2 $ ⇔ $\frac{{\left| {A + 2B - C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \sqrt 2 $ ⇔ ${(A + 2B - C)^2} = 2({A^2} + {B^2} + {C^2})$ (2)

Từ (1) và (2) ta được: $8{\rm{A}}B + 5{B^2} = 0$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l} B = 0 & & (3)\\ 8{\rm{A}} + 5B = 0 & (4) \end{array} \right.$

  • Từ (3): B = 0 ⇒ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 ⇒ (P): $x - z = 0$
  • Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 ⇒ C = 3 ⇒ (P): $5{\rm{x}} - 8y + 3{\rm{z}} = 0$.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{z}{4}$ và điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4.

Giải.

Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ${\rm{ax}} + by + cz + 2b = 0$ (${a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0$)

 đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \Delta \parallel (P)\\ d(A;(P)) = d \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b + 4c = 0\\ \frac{{\left| {a + 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4 \end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} a = 4c\\ a = - 2c \end{array} \right.$.

  • Với $a = 4c$. Chọn $a = 4,\,c = 1 \Rightarrow b = - 8$ ⇒ Phương trình (P): \[4x - 8y + z - 16 = 0\].
  • Với $a = - 2c$. Chọn $a = 2,\,c = - 1 \Rightarrow b = 2$ ⇒ Phương trình (P): $2{\rm{x}} + 2y - z + 4 = 0$.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{z}{1}$ và mặt cầu (S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 2y - 4{\rm{z}} + 2 = 0$. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

Giải.

(S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP $\vec u = (2;2;1)$.

(P) // d, Ox ⇒ (P) có VTPT $\vec n = \left[ {\vec u,\vec i} \right] = (0;1; - 2)$ ⇒ PT của (P) có dạng: $y - 2{\rm{z}} + D = 0$.

(P) tiếp xúc với (S) ⇒ $d(I,(P)) = R$ ⇔ $\frac{{\left| {1 - 4 + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = 2$ ⇔ $\left| {D - 3} \right| = 2\sqrt 5 $ ⇔ $\left[ \begin{array}{l} D = 3 + 2\sqrt 5 \\ D = 3 - 2\sqrt 5 \end{array} \right.$

(P): $y - 2{\rm{z}} + 3 + 2\sqrt 5 = 0$ hoặc (P): $y - 2{\rm{z}} + 3 - 2\sqrt 5 = 0$.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 4 = 0$ và mặt phẳng (P):$x + z - 3 = 0$. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm $M(3;1; - 1)$ vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Giải.

(S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT ${\vec n_P} = (1;0;1)$

PT (Q) đi qua M có dạng: $A(x - 3) + B(y - 1) + C(z + 1) = 0,\,\,{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0$

(Q) tiếp xúc với (S) ⇔ $d(I,(Q)) = R \Leftrightarrow \left| { - 4A + B + C} \right| = 3\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} $ (*)

$(Q) \bot (P) \Leftrightarrow {\vec n_Q}.{\vec n_P} = 0 \Leftrightarrow A + C = 0 \Leftrightarrow C = - A$ (**)

Từ (*),(**) ⇒ $\left| {B - 5A} \right| = 3\sqrt {2{A^2} + {B^2}} \Leftrightarrow 8{B^2} - 7{A^2} + 10AB = 0$ ⇔ $A = 2B\,\,\, \vee \,\,\,7{\rm{A}} = - 4B\,\,$

  • Với $A = 2B$. Chọn B = 1, A = 2, C = –2 ⇒ PT (Q): $2x + y - 2z - 9 = 0$
  • Với $7{\rm{A}} = - 4B$. Chọn B = –7, A = 4, C = –4 ⇒ PT (Q): $4x - 7y - 4z - 9 = 0$

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng (D): $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 2}}$ và tạo với mặt phẳng (P) : $2x - 2y - z + 1 = 0$ một góc 600.  Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng (a) với trục Oz

Giải.

() qua điểm $A(1;0;0)$ và có VTCP $\vec u = (1; - 1; - 2)$. (P) có VTPT ${\vec n^\prime } = (2; - 2; - 1)$.

Giao điểm $M(0;0;m)$ cho $\overrightarrow {AM\,} = ( - 1;0;m)$. (𝛂) có VTPT $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {u\,} } \right] = (m;m - 2;1)$

(𝛂) và (P): $2x - 2y - z + 1 = 0$ tạo thành góc 600 nên : $\left| {\cos \left( {\vec n,{{\vec n}^\prime }} \right)} \right| = \frac{1}{2}\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 4m + 5} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 1 = 0$ $m = 2 - \sqrt 2 \,\,$hay $m = 2 + \sqrt 2 \,\,$

Kết luận : $M(0;0;2 - \sqrt 2 )$ hay $M(0;0;2 + \sqrt 2 )$.

Trắc nghiệm viết phương trình mặt phẳng

Nếu các bài tập trên đây vẫn chưa đủ đô thì hãy thử sức với thật nhiều bài tập nữa từ Lize.vn nhé.


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Khóa Ôn thi THPT Quốc Gia môn Hóa Học

Thầy Trần Hoàng Phi

Học phí: 299K

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm nhiều Tài liệu ôn thi thật bổ ích nữa từ Lize nhé.

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Tài liệu khác khi Lize cập nhật nhé.

X