Ghi nhớ các phương trình lượng giác thường gặp lớp 11

15:57 17/08/2017

Trong bài học này chúng ta sẽ tìm hiểu các Phương trình lượng giác thường gặp cho lớp 11 và cách thức ghi nhớ chúng. Song song với đó, các em sẽ được luyện tập với một số bài tập phương trình lượng giác có đáp án.

Phương trình lượng giác thường gặp lớp 11

Các dạng phương trình lượng giác thường gặp và ví dụ minh họa

1. Phương trình dạng $a\sin x + b\cos x = c\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)$.

Điều kiện tồn tại nghiệm là ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$.

Chia cả hai về cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ để đưa về dạng văn bản như sau:

$\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

$ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ (với $\cos \alpha  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }};\,\sin \alpha  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$).

Ví dụ: Giải phương trình $\cos x + \sqrt 3 \sin x = 2\cos 2x$.

Giải

Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x = \cos 2x$

phương trình lượng giác thường gặp lớp 11

 

 

 

 

Ví dụ: Với những giá trị nào của m phương trình sau có nghiệm

$\left( {m + 2} \right){\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + mcosx = 2.$

Giải

Điều kiện để phương trình có nghiệm là

${\left( {m + 2} \right)^2} + {m^2} \ge 4 \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le  - 2$ hoặc $m \ge 0.$

2. Phương trình dạng $a{\sin ^2}x + b{\cos ^2}x + c\sin x.\cos x = d$

Điều kiện: ${a^2} + {b^2} + {c^2} > {d^2}$.

Cách 1: Xét trường hợp $\cos x = 0$ bằng cách thay trực tiếp vào phương trình.

Với trường hợp $\cos x \ne 0$ ta chia hai vế cho ${\cos ^2}x$ và thu được một phương trình với ẩn $t = \tan x$.

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc ${\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}$; ${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}$ và công thức $2\sin x\cos x = \sin 2x$ để đưa phương trình đã cho về dạng $A\sin 2x + B\sin 2x = C$.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt 3 {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x - \sqrt 3 {\sin ^2}x - 1 = 0$.

Giải

TH1: $\cos x = 0$ thì ${\sin ^2}x =  \pm 1$ do đó ${\mathop{\rm cosx}\nolimits}  = 0$ không là nghiệm của phương trình.

TH2: $\cos x \ne 0$ chia cả hai vế cho ${\cos ^2}x$ ta được

$\sqrt 3  + 2\tan x - \sqrt 3 {\tan ^2}x - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 0$ $ \Rightarrow \sqrt 3  + 2t - \sqrt 3 {t^2} - \left( {1 + {t^2}} \right) = 0;\,\,t = \tan x$

$ \Rightarrow  - \left( {\sqrt 3  + 1} \right){t^2} + 2t + \sqrt 3  - 1 = 0.$

Do tổng các hệ số bằng 0 nên phương trình có hai nghiệm ${t_1} = 1$; ${t_2} = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }} =  - 2 + \sqrt 3 $.

Từ đó suy ra $x = \frac{{\,\pi }}{4} + k\pi $; $x =  - \frac{{\,\pi }}{{12}} + k\pi .$  

3. Phương trình dạng $a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0$

Đặt $t = \sin x + \cos x \Rightarrow {t^2} = 1 + 2\sin x\cos x$ ;

Điều kiện: \[t = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\] , phương trình trở thành

$2at + b\left( {{t^2} - 1} \right) + 2c = 0 \Leftrightarrow b{t^2} + 2at + \left( {2c - b} \right) = 0$.

Đây là phương trình bậc hai theo $t$ với điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $.

Ví dụ: Giải phương trình $\sin x + \cos x + \sqrt 2 \sin 2x = 0.$

Giải

Với $t = \sin x + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} $ ta được phương trình

$\sqrt 2 \left( {{t^2} - 1} \right) + t = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 {t^2} + t - \sqrt 2  = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{\sqrt 2 }}{2};t =  - \sqrt 2 $

Với $t =  - \sqrt 2  \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi $

Với $t = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $

$ \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi $ hay $x =  - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi $.

Bài tập phương trình lượng giác lớp 11

 

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm bài tập và hướng dẫn giải bài tập Miễn phí từ Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các bài tập và hướng dẫn giải bài tập từ thầy cô Lize nhé.

\
X