Hướng dẫn giải bài tập phép thử, biến cố và xác suất của biến cố

16:39 31/08/2017

Bài học này sẽ nhắc đến Kiến thức về Phép thử và Biến cố, một trong những dạng toán quan trọng trong Chuyên đề Tổ hợp - Xác suất lớp 11.

Phép thử và biến cố

phép thử và biến cố

Kiến thức cần nhớ

1. Quan niệm chung về xác suất

Xác suất của biến cố A là số đo khả năng xảy ra của biến cố A.

2. Định nghĩa cổ điển của xác suất

2.1 Định nghĩa

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử T và phép thử T có một số hữu hạn kết quả có thể xảy ra, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số $\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}$  là xác suất của biến cố A, kí hiệu là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}$.

Trong đó, $n\left( A \right)$ là số phần tử của tập hợp A, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T thuận lợi cho biến cố A; còn $n\left( \Omega  \right)$ là số phần tử của không gian mẫu $\Omega $, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T.

2.2 Chú ý

Để vận dụng được định nghĩa cổ điển của xác suất, phải có hai điều kiện sau đây:

- Số các kết quả có thể có của phép thử là hữu hạn;

- Các kết quả có thể có của phép thử là đồng khả năng.

3. Các tính chất cơ bản của xác suất

3.1 Định lý

a) $P\left( \emptyset  \right) = 0;{\rm{ }}\,P\left( \Omega  \right) = 1.$

b)$0 \le P\left( A \right) \le 1$, với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc với nhau, thì ta có

$P(A \cup B) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$  (công thức cộng xác suất).

3.2 Hệ quả

Với mọi biến cố A, ta luôn luôn có $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right)$.

4. Hai biến cố độc lập

4.1 Định nghĩa

Hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia (nói cách khác là không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia).

4.2 Định lý

Nếu A, B là hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) sao cho P(A) > 0, P(B) > 0 thì ta có:

a) A và B là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi

$P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right).$

4.3 Chú ý

Kết quả vừa nêu chỉ đúng trong trường hợp khảo sát tính độc lập chỉ của 2 biến cố.

b) Nếu A và B độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau:

$A$ và $\overline B $ ; $\overline A $ và $B$; $\overline A $ và $\overline B $.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần luợt 2 viên bi từ cái hộp đó. Tính xác xuất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh. 

Lời giải.

Số cách lấy lần luợt 2 viên bi từ hộp là 10.9 = 90 (cách)

Nếu lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh thì có 6.4 = 24 (cách)

Nếu lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 cũng là bi xanh thì có 4.3 = 12 (cách)

Suy ra xác suất cần tìm là $p = \frac{{\left( {24 + 12} \right)}}{{90}} = \frac{4}{{10}}$.

Ví dụ 2. Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu.

Lời giải.

Tổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi $\Omega $ là không gian mẫu.

Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có $C_{24}^8$ cách lấy hay $n\left( \Omega  \right) = C_{24}^8$.

Gọi A là biến cố lấy đuợc các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các truờng hợp sau:

+)  2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có $C_{10}^2C_8^1C_6^1 = 2160$ cách.

+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có $C_{10}^1C_8^2C_6^1 = 1680$ cách.

+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có $C_{10}^1C_8^1C_6^2 = 1200$ cách.

Do đó $n\left( A \right) = 5040$.

Vậy xác suất biến cố A là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{5040}}{{10626}} = 47,4\% $.

Ví dụ 3. Từ các chữ số của tập $T = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}$, nguời ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất một số chia hết cho 5.

Lời giải.

+ Có $5.A_5^2 = 100$ số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.

+ Có $A_5^2 + 4.A_4^1 = 36$ số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

+ Có 64 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.

+ $n\left( \Omega  \right) = C_{100}^1C_{99}^1 = 9900$

+ Gọi A là biến cố : “Trong hai số được ghi trên 2 tấm thẻ có ít nhất 1 số chia hết cho 5”

Ta có $n\left( A \right) = C_{36}^1C_{64}^1 + C_{36}^1C_{35}^1 = 3564.$

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{3564}}{{9900}} = 0,36.$

Bài tập tự luyện

Giờ chúng ta sẽ thực hành với một số bài tập phép thử và biến cố nhé.

 

Share bài viết

Từ khoá

Khóa Toán Học lớp 11

Thầy
Nguyễn Phụ
Hoàng Lân

Học phí: 349K

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé.

X