Hướng dẫn giải bài tập tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến

16:42 10/02/2017

Bài học sẽ hướng dẫn chi tiết cho các em cách giải một bài tập tìm nguyện hàm bằng phương pháp đổi biến số. Bên cạnh đó, các em cũng có thể luyện tập với các bài tập trắc nghiệm tìm nguyên hàm.

Bài tập tìm nguyên hàm có lời giải

bài tập tìm nguyên hàm có lời giải

Kiến thức cần nhớ

Nếu $\int {f\left( x \right)dx}  = F\left( x \right) + C$ thì $\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx}  = F\left[ {u\left( x \right)} \right] + C.$

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm $I = \int {f\left( x \right)dx} $, trong đó ta có thể phân tích $f\left( x \right) = g\left[ {u\left( x \right)} \right].u'\left( x \right)$ thì ta thực hiện đổi biến số $t = u\left( x \right)$, suy ra $dt = u'\left( x \right)dx.$

Khi đó ta được nguyên hàm $\int {g\left( t \right)dt}  = G\left( t \right) + C = G\left[ {u\left( x \right)} \right] + C.$

Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo $t$ thì ta phải thay $t = u\left( x \right).$

Bài tập minh họa

Câu 1. Tính nguyên hàm $I = \int {\frac{{2{x^2} + x - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}dx} .$

Giải.

Đặt $\sqrt {x + 1}  = t \Leftrightarrow x = {t^2} - 1$ Þ $dx = 2tdt$

⇒ $I = \int {\frac{{2{{({t^2} - 1)}^2} + ({t^2} - 1) - 1}}{t}2tdt}  = 2\int {(2{t^4} - 3{t^2})dt}  = \frac{{4{t^5}}}{5} - 2{t^3} + C.$

Câu 2. Tính nguyên hàm $I = \int {\frac{{x + 1}}{{{{\left( {1 + \sqrt {1 + 2x} } \right)}^2}}}dx.} $

Giải.

Đặt $t = 1 + \sqrt {1 + 2x}  \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{{\sqrt {1 + 2x} }} \Rightarrow dx = (t - 1)dt$ và $x = \frac{{{t^2} - 2t}}{2}$

Ta có:  I = $\frac{1}{2}\int {\frac{{({t^2} - 2t + 2)(t - 1)}}{{{t^2}}}dt = \frac{1}{2}\int {\frac{{{t^3} - 3{t^2} + 4t - 2}}{{{t^2}}}dt}  = \int {t - 3 + \frac{4}{t} - \frac{2}{{{t^2}}}dt} } $

= $\frac{1}{2}\left( {\frac{{{t^2}}}{2} - 3t + 4\ln \left| t \right| + \frac{2}{t}} \right) + C.$

Câu 3. Tính nguyên hàm $I = \int {\frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{x}dx} .$

Giải.

Ta có: $I = \int\limits_{}^{} {\frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{{x^2}}}} xd{\rm{x}}$. Đặt t = $\sqrt {4 - {x^2}}  \Rightarrow {t^2} = 4 - {x^2} \Rightarrow tdt =  - xdx$

⇒ I = $\int\limits_{}^{} {\frac{{t( - tdt)}}{{4 - {t^2}}} = \int\limits_{}^{} {\frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 4}}dt = \int\limits_{}^{} {(1 + } } } \frac{4}{{{t^2} - 4}})dt = \left( {t + \ln \left| {\frac{{t - 2}}{{t + 2}}} \right|} \right) + C$.

Câu 4. Tính nguyên hàm $I = \int {\frac{{dx}}{{\sin x.{{\cos }^3}x}}} $

Giải.

$I = \int {\frac{{dx}}{{\sin x.\cos x.{{\cos }^2}x}} = 2\int {\frac{{dx}}{{\sin 2x.{{\cos }^2}x}}} } $

Đặt $t = \tan x$ \[ \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}};\,\,\sin 2x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$

$ \Rightarrow I = 2\int {\frac{{dt}}{{\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}}} = \int {\frac{{{t^2} + 1}}{t}} } dt\]\[ = \int {(t + \frac{1}{t})dt = \frac{{{t^2}}}{2} + \ln \left| t \right|}  + C = \frac{{{{\tan }^2}x}}{2} + \ln \left| {\tan x} \right| + C.$

Câu 5. Tính nguyên hàm $I = \int {\frac{{{e^{2x}}}}{{1 + \sqrt {{e^x}} }}dx} .$

Giải.

Đặt $t = \sqrt {{e^x}}  \Rightarrow {e^x} = {t^2} \Rightarrow {e^x}dx = 2tdt$

$ \Rightarrow I = 2\int {\frac{{{t^3}}}{{1 + t}}dt = } $$\frac{2}{3}{t^3} - {t^2} + 2t - 2\ln \left| {t + 1} \right| + C$ $ = \frac{2}{3}{e^x}\sqrt {{e^x}}  - {e^x} + 2\sqrt {{e^x}}  - 2\ln \left| {\sqrt {{e^x}}  + 1} \right| + C.$

Trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tìm nguyên hàm có lời giải. Cách em có thể làm quen với phương pháp giải đổi biến số thông qua các bài tập này.

Nếu các bài tập trên đây vẫn chưa đủ đô thì hãy thử sức với thật nhiều bài tập nữa từ Lize.vn nhé.


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé.

X