Hướng dẫn giải bài tập trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến

10:01 03/11/2016

Phương trình tiếp tuyến có thể xuất hiện ở rất nhiều dạng bài tập khác nhau, và chắc chắn là kiến thức không thể bỏ qua trong giai đoạn chuẩn bị cho kỳ thi THPT quốc gia. Bài viết sẽ đề cập cụ thể đến dạng toán viết phương trình tiếp tuyến.

Bài viêt sẽ được chia làm nhiều phần, giúp các em tìm hiểu rõ cách viết phương trình tiếp tuyến cho từng loại đồ thị hàm số. Phần đầu tiên sẽ đề cập đến phương trình tiếp tuyến của đường cong.

Trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến đường cong

phương trình tiếp tuyến

Kiến thức cần nhớ

Lý thuyết cơ bản

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f({x_0})} \right)$.

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f({x_0})} \right)$ là:

y – y0 = f'(x0).(x – x0)             (y0 = f(x0))

2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{ \begin{array}{c} f(x) = g(x)\\ f'(x) = g'(x) \end{array} \right.$ (*)

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.

3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau ⇔ phương trình $a{x^2} + bx + c = px + q$ có nghiệm kép.

Bài toán: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

Dưới đây là một số dạng bài viết phương trình tiếp tuyến mà các bạn có thể gặp ở dạng trắc nghiệm trong đề thị đại học môn Toán.

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$:

  • Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).

Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.

  • Tính y¢ = f¢ (x). Suy ra y¢(x0) = f¢ (x0).
  • Phương trình tiếp tuyến D  là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước.

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

  • Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f¢ (x0).
  • D có hệ số góc k ⇒ f¢ (x0) = k          (1)
  • Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của D.

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

  • Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m.
  • D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = kx + m\\ f'(x) = k \end{array} \right.$ (*)

  • Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của D.

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau:

+ D  tạo với chiều dương trục hoành góc a  thì  k = tana

+ D  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì  k = a

+ D  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) thì  k = $ - \frac{1}{a}$

+ D tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc alpha thì $\left| {\frac{{k - a}}{{1 + ka}}} \right| = \tan \alpha $

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y = f(x), biết D đi qua điểm $A({x_A};{y_A})$.

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

  • Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y¢0 = f¢ (x0).
  • Phương trình tiếp tuyến D  tại M: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)
  • D đi qua $A({x_A};{y_A})$nên: yA – y0 = f¢ (x0).(xA – x0)                         (2)
  • Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của D.

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

  • Phương trình đường thẳng D đi qua $A({x_A};{y_A})$và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)
  • D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = k(x - {x_A}) + {y_A}\\ f'(x) = k \end{array} \right.$ (*)

  • Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến D.

Ví dụ

Giờ chúng ta sẽ làm quen với một vài ví dụ về trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến, những bài tập mà nhiều khả năng sẽ xuất hiện trong đề thi đại học 2017.

VD1 : Cho hs $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến:

  1. tại M(-1 ;3)
  2. tại M có hoành độ là 2
  3. tại M có tung độ là 1
  4. tại giao điểm (C) với trục tung.
  5. Có hệ số góc là 9
  6. Song song với đường thẳng (d):$27x - 3y + 5 = 0$
  7. Vuông góc với đường thẳng (d) : $y =  - \frac{1}{9}x + 2011$

D=R $y' = 3{x^2} + 6x$

a) ${x_0} = - 1;{y_0} = 3$ $ \Rightarrow k = y'( - 1) = - 3 \Rightarrow tt:y = k(x - {x_0}) + {y_0} \Rightarrow y = - 3x + 6$

b) ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 21$ $ \Rightarrow k = y'(2) = 24 \Rightarrow tt:y = 24x - 27$

c) ${y_0} = 1 \Rightarrow x_0^3 + 3x_0^2 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ {x_0} = - 3 \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} k = y'(0) = 0 \Rightarrow tt:y = 1\\ k = y'( - 3) = 9 \Rightarrow tt:y = 9x + 28 \end{array} \right.$

d) trục tung Oy : ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1$$ \Rightarrow k = y'(0) = 0 \Rightarrow tt:y = 1$

e) $k = 9 \Leftrightarrow y'({x_0}) = 9 \Leftrightarrow 3x_0^2 + 6{x_0} = 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 1\\ {x_0} = - 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {y_0} = 5\\ {y_0} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow tt$

f) do tt // (d) : $y = 9x + \frac{5}{3}$ => $k = 9$ => giải tương tự

g) do tt $ \bot (d):y = - \frac{1}{9}x + 2011 \Rightarrow k = - \frac{1}{{ - \frac{1}{9}}} = 9$=> giải tương tự

VD2 : Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số\[y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{m}{2}{x^2} + \frac{1}{3}\]. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng – 1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0.

Giải: Đặt\[M({x_0};{y_0}) \in ({C_m})\], ta có: \[{x_0} = - 1 \Rightarrow {y_0} = - \frac{m}{2}\].\[y' = {x^2} - mx \Rightarrow y'({x_0}) = m + 1\];

Phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm M có dạng: \[y - {y_0} = y'({x_0})(x - {x_0})\]\[ \Leftrightarrow y + \frac{m}{2} = (m + 1)(x + 1)\]

\[ \Leftrightarrow y = (m + 1)x + \frac{1}{2}(m + 2)\].

∆ song song với đường thẳng 5x – y = 0 hay y = 5x\[

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m + 1 = 5\\ m + 2 \ne 0 \end{array} \right.\]

→ m = 4.

VD3: Cho hàm số\[y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 5\](C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Giải: gọi\[M({x_0};{y_0}) \in (C)\]\[ \Leftrightarrow {y_0} = x_0^3 + 3x_0^2 - 9{x_0} + 5\].

Ta có: \[y' = 3{x^2} + 6x - 9\].

Tiếp tuyến tại điểm M có hệ số góc: \[k = y'({x_0}) = 3x_0^2 + 6{x_0} - 9 = 3{({x_0} + 1)^2} - 12 \ge 12\]→ Mink = -12, đạt được khi: x0 = -1 → y0 = 16.

Vậy trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại M (-1; 16) (điểm uốn) có hệ số góc nhỏ nhất. Phương trình tiếp tuyến: y = -12x = 4.

Trên đây là một số bài tập với dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong. Lize sẽ sớm trở lại với các dạng phương trình tiếp tuyến khác.

Để có thể luyện tập với nhiều bài tập trắc nghiệm Toán hơn, hãy đăng ký khóa học trực tuyến Toán ngay bây giờ nhé!!!


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé.

\
X