Hướng dẫn giải phương trình Logarit bằng phương pháp hàm số

15:48 28/07/2017

Trong bài viết này, Lize sẽ hướng dẫn các em giải phương trình Logarit bằng phương pháp hàm số. Sau đó, các em có thể luyện tập với một số bài tập phương trình logarit có đáp án.

Phương trình Logarit - Phương pháp hàm số

giải bài tập phương trình logarit

Hướng dẫn giải phương trình Logarit

Sau đây là cách giải phương trình Logarit bằng phương pháp hàm số.

Biến đổi phương trình logarit về dạng $f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\left( 1 \right)$.

Trong đó $f\left( x \right)$ là hàm đồng biến (hoặc nghịch biến)

                  $g\left( x \right)$ là hàm nghịch biến (hoặc đồng biến)

Thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất $x = {x_0}.$ Đoán nghiệm ${x_0}.$

Ví dụ

Câu 1: Giải phương trình logarit sau: $\lg \left( {{x^2} - x - 6} \right) + x = \lg \left( {x + 2} \right) + 4.$

Giải:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 6 > 0\\x + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3.$

$\begin{array}{l}\lg \left( {{x^2} - x - 6} \right) + x = \lg \left( {x + 2} \right) + 4\\ \Leftrightarrow \lg \left( {{x^2} - x - 6} \right) - \lg \left( {x + 2} \right) = 4 - x\\ \Leftrightarrow \lg \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x + 2}} = 4 - x\\ \Leftrightarrow \lg \left( {x - 3} \right) = 4 - x.\end{array}$

Xét $f\left( x \right) = \lg \left( {x - 3} \right)$ là hàm đồng biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$, $g\left( x \right) = 4 - x$ là hàm nghịch biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$.

Nhận thấy $x = 4$ thỏa mãn phương trình. Vậy $x = 4$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Câu 2: Giải phương trình logarit sau: ${x^2} + {3^{{{\log }_2}x}} = {x^{{{\log }_2}5}}.$

Giải:

Điều kiện: $x > 0.$

Đặt $t = {\log _2}x \Rightarrow x = {2^t}.$

Ta có

$\begin{array}{l}{x^2} + {3^{{{\log }_2}x}} = {x^{{{\log }_2}5}}\\ \Leftrightarrow {4^t} + {3^t} = {5^{{{\log }_2}x}} = {5^t}\\ \Leftrightarrow {4^t} + {3^t} = {5^t}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^t} = 1\,\,\,\left( 1 \right).\end{array}$

Xét $f\left( t \right) = {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^t}$ là hàm nghịch biến.

$g\left( t \right) = 1$ là hàm hằng.

Nhận thấy $t = 2$ là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right).$ Vậy $t = 2$ là nghiệm duy nhất. Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất $x = 4.$

Câu 3: Giải phương trình logarit sau bằng phương pháp hàm số ${\log _2}\left( {{x^2} - 4} \right) + x = 3 + {\log _2}\left( {x + 2} \right).$

Giải:

Điều kiện: $x > 2.$

$\begin{array}{l}{\log _2}\left( {{x^2} - 4} \right) + x = 3 + {\log _2}\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 4} \right) - {\log _2}\left( {x + 2} \right) = 3 - x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2} \right) = 3 - x\,\,\left( 1 \right).\end{array}$

Xét $f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x - 2} \right)$ là hàm đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right).$

$g\left( x \right) = 3 - x$ là hàm nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right).$

Vậy phương trình $\left( 1 \right)$ có một nghiệm duy nhất.

Ta thấy $x = 3$ thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 3.$

Bài tập phương trình Logarit có đáp án

Sau khi đã xem Ví dụ các em có thể luyện tập với một số bài tập Logarit có đáp án dưới đây.

 

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé.

\
X