Hướng dẫn giải phương trình mũ bằng Phương pháp đặt ẩn phụ

13:40 19/11/2016

Bài viết sẽ đề cập đến 4 dạng phương trình mũ có thể dễ dàng xử lý bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Một số ví dụ và bài tập trắc nghiệm phương trình mũ sẽ được đưa ra để học sinh làm quen với phương pháp giải rất thú vị này.

Phương trình mũ

bài tập trắc nghiệm phương trình mũ

Hướng dẫn giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ


Dạng 1: Phương trình mũ ${\alpha _k} + {\alpha _{k - 1}}{a^{\left( {k - 1} \right)x}} + ... + {\alpha _1}{a^x} + {\alpha _0} = 0$


Khi đó đặt $t = {a^x}$ điều kiện $t > 0$ ta được ${\alpha _k}{t^k} + {\alpha _{k - 1}}{t^{k - 1}} + ... + {\alpha _1}t + {\alpha _0} = 0$

Mở rộng: Nếu đặt ẩn phụ $t = {a^{f\left( x \right)}},$ điều kiện hẹp $t > 0$. Khi đó ${a^{2f\left( x \right)}} = {t^2},{a^{3f\left( x \right)}} = {t^3},...{a^{ - f\left( x \right)}} = \frac{1}{t}.$

Dạng 2: Phương trình mũ ${\alpha _1}{a^x} + {\alpha _2}{a^x} + {\alpha _3} = 0,$ với $a.b = 1$.


Khi đó đặt ẩn phụ $t = {a^x},\,\,\,\left( {t > 0} \right)$ suy ra ${b^x} = \frac{1}{t}$, ta được

${\alpha _1}t + {\alpha _2}\frac{1}{t} + {\alpha _3} = 0 \Leftrightarrow {\alpha _1}{t^2} + {\alpha _3}t + {\alpha _2} = 0$

Mở rộng: Với $a.b = 1$ thì khi đặt $t = {a^{f\left( x \right)}},$ điều kiện hẹp $t > 0$ suy ra ${b^{f\left( x \right)}} = \frac{1}{t}$.

Dạng 3: Phương trình mũ ${\alpha _1}{a^{2x}} + {\alpha _2}{\left( {ab} \right)^x} + {\alpha _3}{b^{2x}} = 0,$


Khi đó chia hai vế của phương trình cho ${b^{2x}} > 0$ (hoặc ${a^{2x}},{\left( {ab} \right)^x})$ ta được ${\alpha _1}{\left( {\frac{a}{b}} \right)^{2x}} + {\alpha _2}{\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} + {\alpha _3} = 0$.

Đặt ẩn phụ $t = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^x},\,\,t > 0,$ ta được ${\alpha _1}{t^2} + {\alpha _2}t + {\alpha _3} = 0$

Dạng 4: Lượng giác hóa


Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp $t > 0$ cho trường hợp đặt $t = {a^{f\left( x \right)}}$ vì:

- Nếu đặt ẩn $t = {a^x}$ thì $t > 0$ là điều kiện đúng.

- Nếu đặt ẩn $t = {2^{{x^2} + 1}}$ thì $t > 0$ là điều kiện hẹp bởi thực chất điều kiện cho $t$ phải là $t \ge 2.$ Điều kiện này đặc biệt quan trọng cho các lớp bài toán có chứa tham số

Ví dụ


Bài 1. Giải phương trình ${4^{{{\cot }^2}x}} + {2^{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}} - 3 = 0$.


Giải. Điều kiện $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,\,\,\,k \in \,$$\mathbb{Z}$.

Vì $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x$ nên phương trình đã cho được viết dưới dạng

${4^{{{\cot }^2}x}} + {2.2^{{{\cot }^2}x}} - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Đặt $t = {2^{{{\cot }^2}x}}\,\,\,\,\left( {t \ge 1} \right)$ vì \[{\cot ^2}x \ge 0 \Leftrightarrow {2^{{{\cot }^2}x}} \ge {2^0} = 1.\]

Khi đó phương trình (1) có dạng

${t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\ t = - 3\,\,\,\,\left( {loai} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow {2^{{{\cot }^2}x}} = 1$

$ \Leftrightarrow {\cot ^2}x = 0 \Leftrightarrow \cot x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,\,k \in $$\mathbb{Z}$ (thỏa mãn).

Bài 2. Giải phương trình ${\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + 16{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = {2^{x + 3}}.$


Giải. Chia cả hai vế của phương trình cho 2ta được

${\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + 16{\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 8$ (*)

Nhân xét rằng $\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) = 1$, do đó

Đặt $t = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x},\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{t}.$

Khi đó phương trình (*) trở thành ${t^2} - 8t + 16 = 0 \Leftrightarrow t = 4\left( {tm} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 4 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}}4.$

Bài 3. (ĐHL-1998) Giải phương trình ${\left( {\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } } \right)^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }} + {\left( {\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } } \right)^{\sin x}} = 4.$


Giải. Nhận xét rằng $\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } .\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } = 1$, do đó

Đặt $t = {\left( {\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } } \right)^{\sin x}},\,\,\,\left( {t > 0} \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } } \right)^{\sin x}} = \frac{1}{t}.$

Phương trình đã cho trở thành

$t + \frac{1}{t} = 4 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 2 - \sqrt 3 \\ t = 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Suy ra

hướng dẫn giải phương trình mũ

Bài 4. (ĐHTL -2000)  Giải phương trình ${2^{2{x^2} + 1}} - {9.2^{{x^2} + x}} + {2^{2x + 2}} = 0$.


Giải. Chia cả hai vế phương trình cho ${2^{2x + 2}} \ne 0$ ta được

${2^{2{x^2} - 2x - 1}} - {9.2^{{x^2} - x - 2}} + 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{2^{2{x^2} - 2x}} - \frac{9}{4}{2^{{x^2} - x}} + 1 = 0 \Leftrightarrow {2.2^{2{x^2} - 2x}} - {9.2^{{x^2} - x}} + 4 = 0.$

Đặt $t = {2^{{x^2} - x}},\,\,t > 0$ ta được

$2{t^2} - 9t + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{1}{2}\\ t = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {2^{{x^2} - x}} = {2^{ - 2}}\\ {2^{{x^2} - x}} = {2^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 2 \end{array} \right..$

Trắc nghiệm phương trình mũ


Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ kể trên để xử lý một số bài tập trắc nghiệm sau đây nhé. Không đơn giản đâu!!!

Kho trắc nghiệm Toán của Lize còn rất nhiều để cho các em luyện tập nhé:


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé.

\
X