Hướng dẫn tính tích phân: Phương pháp đổi biến số

14:25 03/01/2017

Đổi biến là một phương pháp khá hiệu quả khi học sinh đối mặt với một bài toán tính tích phân. Phương pháp đổi biến chia ra làm 2 dạng, loại 1 và loại 2. Lize sẽ hướng dẫn cách tính tích phân thông qua 2 dạng này. Các em có thể áp dụng để giải một số bài tập trắc nghiệm tích phân ở phần cuối bài viết nhé.

Tính tích phân: Phương pháp đổi biến số

tính tích phân

Đổi biến số loại 1

Để tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 1, ta làm theo các bước như sau:

Giả sử cần tính tích phân $I = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $ ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Đặt $x = u\left( t \right)$ (với $u\left( t \right)$ là hàm có đạo hàm liên tục trên $\left[ {\alpha ;\beta } \right],$ $f\left( {u\left( t \right)} \right)$ xác định trên $\left[ {\alpha ;\beta } \right]$ và $u\left( \alpha  \right) = a,\,\,u\left( \beta  \right) = b$) và xác định $\alpha ,\beta .$  

Bước 2. Thay vào, ta có $I = \int\limits_\alpha ^\beta  {f\left[ {u\left( t \right)} \right].u'\left( t \right)dt}  = \int\limits_\alpha ^\beta  {g\left( t \right)dt}  = \left. {G\left( t \right)} \right|_\alpha ^\beta  = G\left( \beta  \right) - G\left( \alpha  \right).$

Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số loại 1

 Dấu hiệu

 Cách chọn

 

 $\sqrt {{a^2} - {x^2}} $

 $\left[ \begin{array}{l} x = \left| a \right|{\mathop{\rm sint}\nolimits} ,\,\,\,\,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\\ x = \left| a \right|\cos t,\,\,\,\,t \in \left[ {0;\pi } \right] \end{array} \right.$

 

 

 $\sqrt {{x^2} - {a^2}} $

 $\left[ \begin{array}{l} x = \frac{{\left| a \right|}}{{\sin t}},\,\,\,\,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\\ x = \frac{{\left| a \right|}}{{\cos t}},\,\,\,\,t \in \left[ {0;\pi } \right]\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2}} \right\} \end{array} \right.$

 

 ${x^2} + {a^2}$

 

 $x = \left| a \right|\tan t,\,\,\,\,\,\,t \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$

 

Đổi biến số loại 2

Để tính tích phân $I = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $ nếu $f\left( x \right) = g\left[ {u\left( x \right)} \right].u'\left( x \right),$ ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau:

Bước 1. Đặt $t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u'\left( x \right)dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l} x = a \Rightarrow t = u\left( a \right)\\ x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) \end{array} \right..$

Bước 2. Thay vào ta có $I = \int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)} {g\left( t \right)dt}  = \left. {G\left( t \right)} \right|_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)}.$

Ví dụ

Câu 1. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {{x^5}{{(1 - {x^3})}^6}} dx$

Giải

Đặt $t = 1 - {x^3} \Rightarrow dt =  - 3{x^2}dx \Rightarrow dx = \frac{{ - dt}}{{3{x^2}}} \Rightarrow I = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {{t^6}(1 - t)} dt = \frac{1}{3}\left( {\frac{{{t^7}}}{7} - \frac{{{t^8}}}{8}} \right) = \frac{1}{{168}}$

Câu 2. Tính $I = \int\limits_1^{\sqrt[4]{3}} {\frac{1}{{x({x^4} + 1)}}} dx$                

Giải.

Đặt $t = {x^2}$ Þ $I = \frac{1}{2}\int\limits_1^{\sqrt 3 } {\left( {\frac{1}{t} - \frac{t}{{{t^2} + 1}}} \right)} dt = \frac{1}{4}\ln \frac{3}{2}$.

Câu 3. Tính $I = \int\limits_1^2 {\frac{{1 + {x^2}}}{{1 + {x^4}}}} d{\rm{x}}$

Giải.

Ta có: $\frac{{1 + {x^2}}}{{1 + {x^4}}} = \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}}}$. Đặt $t = x - \frac{1}{x} \Rightarrow dt = \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx$

⇒ $I = \int\limits_1^{\frac{3}{2}} {\frac{{dt}}{{{t^2} - 2}}}  = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_1^{\frac{3}{2}} {\left( {\frac{1}{{t - \sqrt 2 }} - \frac{1}{{t + \sqrt 2 }}} \right)dt} $ $ = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.\ln \left| {\frac{{t - \sqrt 2 }}{{t + \sqrt 2 }}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{2}}\\ 1 \end{array} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left( {\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}}} \right)} \right.$.

Câu 4. Tính $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x.\cos x}}{{1 + \cos x}}dx} $

Giải.

 Ta có: $I = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x.{{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} $. Đặt $t = 1 + \cos x$ Þ $I = 2\int\limits_1^2 {\frac{{{{(t - 1)}^2}}}{t}dt}  = 2\ln 2 - 1$.

Trắc nghiệm tính tích phân

Dưới đây sẽ là một số bài tập trắc nghiệm tính tích phân mà các em có thể sử dụng phương pháp đổi biến số loại 1 cũng như loại 2 để xử lý.

Nếu các bài tập trên đây vẫn chưa đủ đô thì hãy thử sức với thật nhiều bài tập nữa từ Lize.vn nhé.


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Khóa Vật lý lớp 10

Thầy
Nguyễn Thành Nam

Học phí: 199K

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm bài tập và hướng dẫn giải bài tập Miễn phí từ Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các bài tập và hướng dẫn giải bài tập từ thầy cô Lize nhé.

X