Nắm chắc cách giải bài tập Nhị thức Niu tơn lớp 11

16:58 17/08/2017

Lize sẽ chỉ cho các em lý thuyết cũng như cách giải một số bài tập liên với đến Nhị thức Niu tơn - chương trình Toán học lớp 11 nhé. Song song với đó các em có thể luyện tập với một số bài tập trắc nghiệm có đáp án.

Các dạng bài tập Nhị thức Niu tơn lớp 11

bài tập nhị thức niu tơn lớp 11

Kiến thức cần nhớ

I. Công thức nhị thức Niu tơn

1. Công thức nhị thức Niu tơn

Với a, b là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên\[n \ge 1\], ta có:

${\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)^n}\; = {\rm{ }}{C^0}_n\;{a^n}\; + {\rm{ }}{C^1}_n\;{a^{n{\rm{ }}--{\rm{ }}1}}b{\rm{ }} + {\rm{ }}{C^2}_n\;{a^{n{\rm{ }}--{\rm{ }}2}}{b^2}\; + {\rm{ }} \ldots {\rm{ }} + {\rm{ }}{C_n}^{n{\rm{ }}--{\rm{ }}1\;}a{b^{n{\rm{ }}--{\rm{ }}1}}\; + {\rm{ }}{C^n}_n{b^n}.{\rm{ }}\left( 1 \right)$

2. Quy ước

Với a là số thực khác 0 và n là số tự nhiên khác 0, ta quy ước:

${a^0} = 1;{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$.

3. Chú ý

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện a và b đều khác 0, có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:

${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} $.

II. Tam giác Pascal

1. Tam giác Pascal là tam giác số ghi trong bảng (SGK)

2. Cấu tạo của tam giác Pascal

- Các số ở cột ) và ở "đường chéo" đều bằng 1.

- Xét hai số ở cột k và cột $k + 1$, đồng thời cùng thuộc dòng $n,{\rm{ }}\left( {k \ge 0;{\rm{ }}n \ge 1} \right),$ ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột $k + 1$ và dòng $n + 1$

3. Tính chất của tam giác Pascal

Từ cấu tạo của tam giác Pascal, có thể chứng minh được rằng:

a) Giao của dòng n và cột k là $C_n^k$

b) Các số của tam giác Pascal thỏa mãn công thức Pascal:

$C_n^k + {\rm{ }}C_n^{k + 1}\; = C_{n + 1}^{k + 1}\;.$

c) Các số ở dòng n là các hệ số trong khai triển của nhị thức ${\left( {a + b} \right)^n}\;$ (theo công thức nhị thức Niu - Tơn), với a, b là hai số thực tùy ý. Chẳng hạn, các số ở dòng 4 là các hệ số trong khai triển của ${\left( {a + b} \right)^4}\;$ (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) dưới đây:

$\;{\left( {a + b} \right)^4}\; = {a^4}\; + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^{2\;}} + 4a{b^3}\; + {b^4}.\;\;$

Ví dụ minh họa

Bài toán tìm hệ số trong khai triển Niu tơn

Bài 1. Tìm hệ số của ${x^{101}}{y^{99}}$ trong khai triển ${\left( {2x - 3y} \right)^{200}}$.

Giải.

Số hạng chứa ${x^{101{y^{99}}}}$ trong khai triển đã cho là $C_{200}^{99}{\left( {2x} \right)^{101}}{\left( { - 3y} \right)^{99}}$.

Vậy hệ số cần tìm là $ - C_{200}^{99}{2^{101}}{.3^{99}}$

Bài 2.  Xác định hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển ${\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n}$ nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển đó bằng $97$.

Giải.

Ta có ${\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} + C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}\left( { - \frac{2}{x}} \right) + C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}{\left( { - \frac{2}{x}} \right)^2} + ...$

Theo giả thiết ta có

$C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97$

$ \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0$

$ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n =  - 6\,\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.$

Vậy $n = 8$. Từ đó ta có

${\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^8} = {\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}\left( { - \frac{2}{x}} \right)} ^k} = \sum\limits_{k - 0}^8 {{{\left( { - 2} \right)}^k}C_8^k{x^{16 - 3k}}} .$

Như vậy ta phải có $16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4.$ Do đó hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ là ${\left( { - 2} \right)^4}C_8^4 = 1120.$

Tìm số hạng trong khai triển Niu tơn

Bài 1. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển sau ${\left( {{x^3} + xy} \right)^{21}}$.

Giải.

Khai triển ${\left( {{x^3} + xy} \right)^{21}}$ có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa đó là số thứ 11 và 12.

Số  hạng thứ 11 là $C_{21}^{10}{\left( {{x^3}} \right)^{11}}{\left( {xy} \right)^{10}} = C_{21}^{10}{x^{43}}{y^{10}}$.

Số hạng thứ 12 là $C_{21}^{11}{\left( {{x^3}} \right)^{10}}{\left( {xy} \right)^{10}} = C_{21}^{11}{x^{41}}{y^{11}}$.

Bài 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức sau ${\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}}} \right)^{17}},x \ne 0$.

Giải. Số hạng tổng quát của khai triển là

$C_{17}^k{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)^{17 - k}}{\left( {{x^{\frac{3}{4}}}} \right)^k} = C_{17}^k{\left( {{x^{\frac{3}{4}}}} \right)^{\frac{{17}}{{12}}k - \frac{{34}}{3}}}\,\,\,\left( {k \in N,0 \le k \le 17} \right)$

Để số hạng không chứa x thì $\frac{{17}}{{12}}k - \frac{{34}}{3} = 0 \Leftrightarrow k = 8$.

Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 9 của khai triển và bằng $C_{17}^8$.

Bài tập trắc nghiệm Nhị thức Niu tơn lớp 11

Trên đây là các dạng toán phổ biến mà các em sẽ gặp với dạng bài tập Nhị thức Niu tơn lớp 11. Bây giờ chúng ta sẽ luyện tập với một số bài tập trắc nghiệm sau đây nhé:

 

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm nhiều Tài liệu ôn thi thật bổ ích nữa từ Lize nhé.

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Tài liệu khác khi Lize cập nhật nhé.

\
X