Phương pháp tính tích phân và bài tập Tích phân ôn thi ĐH

14:25 10/11/2016

Tích phân cơ bản có 3 phương pháp tính. Phương pháp tích phân từng phần là một trong những phương pháp tính tích phân phổ biến nhất được sử dụng. Bài viết sẽ giúp học sinh luyện tập thêm với các bài tập tích phân có lời giải.

Tích phân

bài tập tích phân có lời giải

Các phương pháp tính tích phân

Bài viết sẽ giới thiệu 3 phương pháp tính tích phân, bao gồm sử dụng định nghĩa, phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần.

Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản

Phương pháp này sử dụng trực tiếp định nghĩa nguyên hàm. Chúng ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn ở phần Ví dụ.

Phương pháp đổi biến số

Bài toán: Tính I = $\int\limits_a^b {f(x)dx} $

Phương pháp đổi biến dạng I

phương pháp đổi biến số

 

 

 

 

 

 

Phương pháp đổi biến dạng II

Định lí: Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho f(x)dx = g(u(x)) u'(x) dx = g(u)du thì $I = \int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {g(u)du} $

Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp tích phân từng phần

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cách đặt u và dv  trong phương pháp tích phân từng phần.

 

$\int\limits_a^b {P(x){e^x}dx} $

$\int\limits_a^b {P(x)\ln xdx} $

$\int\limits_a^b {P(x)\cos xdx} $

$\int\limits_a^b {{e^x}\cos xdx} $

u

P(x)

lnx

P(x)

\[{e^x}\]

dv

\[{e^x}dx\]

P(x)dx

cosxdx

cosxdx

 

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và dv = v'dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv = v'dx là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

Ví dụ

Điều đầu tiên khi các em phải làm khi luyện tập với tích phân đó là tính nguyên hàm, bởi về cơ bản. Tích phân chỉ là tính nguyên hàm trong 1 khoảng nhất định. Dưới đây là một số ví dụ tích phân hàm chứa căn, chứa bội hay các hàm lượng giác.

Ví dụ 1. Tính nguyên hàm của các hàm chứa bội sau

a) $\int {x{{\left( {2{x^2} - 1} \right)}^4}dx} $

b) $\int {\frac{{{{\left( {7x - 1} \right)}^{2014}}}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2016}}}}dx} $

Giải.

a) Ta có $\int {x{{\left( {2{x^2} - 1} \right)}^4}dx} = \int {\frac{1}{4}{{\left( {2{x^2} - 1} \right)}^4}d\left( {2{x^2} - 1} \right)} = \frac{1}{{20}}{\left( {2{x^2} - 1} \right)^5} + C$

b) Ta có

ví dụ phương pháp tính tích phân từng phần

 

 

 

 

Ví dụ 2. Tính nguyên hàm các hàm chưa căn sau

a) $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 1} {{\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)}^2}}}} $

b) $J = \int {\frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{\sqrt {1 + x\sqrt x } }}dx} $

Giải.

a) Ta có

Đặt $u = \sqrt {x + 1} $ suy ra ${u^2} = x + 1 \Rightarrow 2udu = dx$.

Từ đó

$I = \int {\frac{{2udu}}{{u{{\left( {u + 1} \right)}^2}}}} = \int {\frac{{2d\left( {u + 1} \right)}}{{{{\left( {u + 1} \right)}^2}}} = - \frac{2}{{u + 1}} + C.} $

b) Ta có

$J = \int {\frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{\sqrt {1 + x\sqrt x } }}dx} = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + x\sqrt x } }}dx} + \int {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {1 + x\sqrt x } }}dx} = {J_1} + {J_2}.$

Tính J1:

Đặt $\sqrt {1 + x\sqrt x } = u \Leftrightarrow {u^2} - 1 = x\sqrt x \Leftrightarrow {\left( {{u^2} - 1} \right)^2} = {x^3} \Rightarrow {x^2}dx = \frac{4}{3}u\left( {{u^2} - 1} \right)du$

Suy ra $A = \int {\frac{4}{3}\left( {{u^2} - 1} \right)du = \frac{4}{9}{u^3} - \frac{4}{3}u + {C_1}} = \frac{4}{9}{\left( {\sqrt {1 + x\sqrt x } } \right)^3} - \frac{4}{3}\sqrt {1 + x\sqrt x } + {C_1}.$

Tính J2:

Ta có $d\left( {1 + x\sqrt x } \right) = \frac{3}{2}\sqrt x dx$, do đó ${J_2} = \int {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {1 + x\sqrt x } }}dx} = \frac{2}{3}\int {\frac{{d\left( {1 + x\sqrt x } \right)}}{{\sqrt {1 + x\sqrt x } }} = \frac{4}{3}} \sqrt {1 + x\sqrt x } + {C_2}.$

Vậy $J = \frac{4}{9}{\left( {\sqrt {1 + x\sqrt x } } \right)^3} + C.$

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm hàm lượng giác $I = \int {\frac{{x.dx}}{{{{\sin }^2}2x}}} $

Giải.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \frac{{dx}}{{{{\sin }^2}2x}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = - \frac{1}{2}\cot 2x \end{array} \right.$

Suy ra $I = - \frac{1}{2}x\cot 2x + \frac{1}{2}\int {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}dx} = - \frac{1}{2}x\cot 2x + \frac{1}{4}\ln \left| {\sin 2x} \right| + C.$

Bài tập tích phân có lời giải

Giờ thực hành với một số bài tập tích phân cơ bản nhé, phương pháp tích phân từng phần sẽ cần được sử dụng nhiều và nhuần nhuyễn nhé.

Kho dưới liệu Lize còn chứa số câu hỏi khổng lồ cho các em khai thác. Tìm hiểu thêm ở đường link phía dưới nhé.


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm nhiều Tài liệu ôn thi thật bổ ích nữa từ Lize nhé.

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Tài liệu khác khi Lize cập nhật nhé.

\
X