Sử dụng Phương pháp Quy nạp Toán học 11 như thế nào sao hiệu quả?

15:29 31/08/2017

Bài viết sẽ giúp em tìm ra cách sử dụng Phương pháp Quy nạp trong toán học 11 để giải các dạng bài tập Chứng minh mệnh đề.

Phương pháp quy nạp toán học 11

phương pháp quy nạp toán 11

Kiến thức cần nhớ

1. Để chứng minh một mệnh đề $P\left( n \right)$là đúng với mọi n ϵ ℕ*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:

Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề $P\left( n \right)$ đúng với $n = 1.$

Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề $P\left( n \right)$ đúng với một số tự nhiên bất kì $n = k$, $k \ge 1$ (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1$.

Khi đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề $P\left( n \right)$ đúng với mọi n ϵ ℕ*.

2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề $P\left( n \right)$ là đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$  ($p$ là số tự nhiên) thì:

- Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề $P\left( n \right)$ đúng với $n = p.$

Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề $P\left( n \right)$ đúng với một số tự nhiên bất kì $n = k,$$k \ge p$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1$.

3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên tuy không phải là chứng minh nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giá thuyết và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.

Một số bài toán thường gặp

- Chứng minh các mệnh đề toán học liên quan đến lập luận lôgic.

- Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức.

- Dự đoán kết quả và chứng minh.

Ví dụ minh họa

Bài 1. Sử dụng phương pháp quy nạp Toán học 11, hãy chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau:

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$.

Lời giải.

+ Với $n = 1$ ta có $VP = \frac{{1\left( {1 + 1} \right)}}{2} = 1 = VT$

Do đó mệnh đề đã cho đúng với $n = 1$

+ Giả sử mệnh đề đã cho đúng với mọi số tự nhiên $n = k \ge 1$, tức là

$1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}$

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$, tức là phải chứng minh

$1 + 2 + 3 + ... + k + \left( {k + 1} \right) = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}$.

Thật vậy, ta có

$1 + 2 + 3 + ... + k + \left( {k + 1} \right) = \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2} + \left( {k + 1} \right) = \frac{{{k^2} + 3k + 2}}{2} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}$  (đpcm)

Vậy mệnh đề đã cho đúng với mọi số nguyên dương n.

Bài 2.  Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đằng thức

${2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = \frac{{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3}$.

Lời giải.

+ Với $n = 1$ ta có

$VT = {2^2} = 4$

$VP = \frac{{2.1\left( {1 + 1} \right)\left( {2.1 + 1} \right)}}{3} = 4$

Do đó mệnh đề đúng với n=1.

+ Giả sử mệnh đề đã cho đúng với mọi số tự nhiên $n = k \ge 1$ , tức là

${2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} = \frac{{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3}$

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$ , tức là phải chứng minh

${2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right)} \right]^2} = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{3}$

Thật vậy, ta có

${2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right)} \right]^2} = \frac{{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3} + 4{\left( {k + 1} \right)^2}$

$ = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k + 1} \right) + 6\left( {k + 1} \right)} \right]}}{3}$

$ = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{3}$

$ = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{3}$ (đpcm)

Vậy mệnh đề đã cho đúng với mọi số nguyên dương n.

Bài 3.  Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có bất đằng thức bằng phương pháp quy nạp Toán học

$1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n $

Lời giải.

+ Khi $n = 1$ ta có $1 < 2$ nên mệnh đề đã cho đúng với n=1.

+ Giả sử mệnh đề đã cho đúng với mọi số tự nhiên $n = k \ge 1$, tức là

$1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k }} < 2\sqrt k $

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$, tức là phải chứng minh

$1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k }} + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} $

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{l}1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k }} + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k  + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} = 2\sqrt {k + 1} \left[ {\frac{{\sqrt k }}{{\sqrt {k + 1} }} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}}} \right]\\ < 2\sqrt {k + 1} ,\,\,\,\,vi\,\,\,\,\frac{{\sqrt k }}{{\sqrt {k + 1} }} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} < 1\end{array}$

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \ge 2$ ta luôn có đằng thức sau

$\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}$.

Lời giải.

+ Khi $n = 2$ ta có

$\left. \begin{array}{l}VT = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\\VP = \frac{{2 + 1}}{{2.2}} = \frac{3}{4}\end{array} \right\} \Rightarrow $ mệnh đề đã cho đúng khi n=2.

+ Giả sử mệnh đề đã cho đúng với mọi số tự nhiên $n = k \ge 2$ tức là

$\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right) = \frac{{k + 1}}{{2k}}$

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$, tức là phải chứng minh

$\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right)\left[ {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right] = \frac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}$

Thật vậy, ta có

$\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right)\left[ {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right] = \frac{{k + 1}}{{2k}}\left[ {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right]$

$ = \frac{{k + 1}}{{2k}}.\frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}$ (đpcm).

 

Trên Lize đã cho các em thấy các lý thuyết cần nắm vững để xử lý dạng bài liên quan đến quy nạp Toán học lớp 11 cũng như vận dụng chúng trong việc giải các bài tập chứng minh mệnh đề. Hi vọng đây sẽ là 1 tài liệu rất hữu ích cho các em!

Share bài viết

Từ khoá

Khóa Hóa học lớp 10

Thầy Phạm Thắng

Học phí: 349K

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm bài tập và hướng dẫn giải bài tập Miễn phí từ Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các bài tập và hướng dẫn giải bài tập từ thầy cô Lize nhé.

X