Tính diện tích hình phẳng: Phương pháp tích phân

16:17 26/12/2016

Trong một số dạng bài tập tính diện tích hình phẳng, học sinh có thể ứng dụng tích phân để xử lý dạng bài tập này. Bài viết sẽ nhắc đến các dạng bài tập ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng mà các em có thể gặp trong đề thi đại học. Một số bài tập trắc nghiệm tính diện tích hình phẳng cũng sẽ được đề cập để các em luyện tập.

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

trắc nghiệm tính diện tích hình phẳng

Các dạng bài tập

Chúng ta sẽ tìm hiểu dạng bài tập ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 hay 4 đường.

Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng $x = a,$ $x = b$ (h.1) là:  $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

tính diện tích hình phẳng

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$, nếu $f\left( x \right)$ không đổi dấu trên khoảng $\left( {c;d} \right) \subset \left[ {a;b} \right]$ thì:

$\int\limits_c^d {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \left| {\int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} } \right|.$

Dạng 2: Cho hai hàm số $\left( {{C_1}} \right):y = f\left( x \right)$ và $\left( {{C_2}} \right):y = g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$và hai đường thẳng $x = a;$ $x = b$

(h.2) là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

*Một số lưu ý

1) Trong trường hợp đề bài không cho sẵn cận $a,b$ thì ta tìm hoành độ giao điểm $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right)$ là nghiệm của phương trình $f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0.$

2) Để bỏ dấu giá trị tuyết đối ta có 3 cách:

(a) Dựa vào đồ thị: nếu nhìn vào đồ thị ta thấy $\left( {{C_1}} \right)$ nằm trên $\left( {{C_2}} \right)$ thì $f\left( x \right) - g\left( x \right) \ge 0$ khi đó $\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right| = f\left( x \right) - g\left( x \right)$.

(b) Lập bảng xét dấu của $f\left( x \right) - g\left( x \right).$

(c) Nếu phương trình $f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0$ chỉ có hai nghiệm là $x = a,$$x = b$ và vì hàm số $h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$ liên tục nên $f\left( x \right) - g\left( x \right)$ không đổi dấu trên $\left[ {a;b} \right]$ khi đó ta được đem dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân.

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} = \left| {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|.$

Ví dụ

Câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \cos x + 1$, trục hoành, hai đường thẳng $x = 0$ và$x = \frac{{2\pi }}{3}$.

Giải.

Ta có $S = \int\limits_0^{\frac{{2\pi }}{3}} {\left| {\cos x + 1} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{{2\pi }}{3}} {\left( {\cos x + 1} \right)dx = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{2\pi }}{3}.} $

Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y =  - {x^2} + 3x - 2$ và trục hoành.

Giải.

Ta có hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là $ - {x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Khi đó

$S = \int\limits_1^2 {\left| { - {x^2} + 3x - 2} \right|dx = \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 3x - 2} \right)dx} = \frac{1}{6}.} $

Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 4 - {x^2}$ và$y =  - x + 2$.

Giải. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình

$4 - {x^2} =  - x + 2 \Leftrightarrow x =  - 1$ hoặc $x = 2$.

Khi đó

$S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - x - 2} \right|dx} = - \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - x - 2} \right)dx = \frac{{27}}{6}.} $

 

Trắc nghiệm tính diện tích hình phẳng

Nếu các bài tập trên đây vẫn chưa đủ đô thì hãy thử sức với thật nhiều bài tập nữa từ Lize.vn nhé.


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé.

\
X