Trắc nghiệm các dạng toán về Phương trình mặt cầu

15:26 07/12/2016

3 Dạng toán mà học sinh thường gặp về phương trình mặt cầu bao gồm, Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ​​​​​​; Viết phương trình của mặt cầu và Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu. Bài viết sẽ hướng dẫn các em giải các dạng bài tập này và đưa ra các bài tập Trắc nghiệm về Phương trình mặt cầu để các em luyện tập.

Phương trình mặt cầu

phương trình mặt cầu

Lý thuyết cơ bản

Phương trình mặt cầu

Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$. (1)

Dạng 2: ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2{\rm{ax}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{2by}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{2cz}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{d}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}}\;\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)$ (2). Khi đó: Mặt cầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} $.

Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng $\left( \Delta \right).$

Tính: $d\left( {I,\,\Delta } \right)$. Nếu: $d\left( {I,\,\Delta } \right) > R:\,\left( \Delta \right) \cap \left( C \right) = \emptyset $; $d\left( {I,\,\Delta } \right) < R:\,\left( \Delta \right) \cap \left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt; $d\left( {I,\,\Delta } \right) = R:\,\left( \Delta \right),\,\,\left( C \right)$ tiếp xúc nhau, $\left( \Delta \right)$gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.

Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,{\rm{Ax}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{By}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{Cz}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{D}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}}$

Tính: $d\left( {I,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {{\rm{Aa}}\,{\rm{ + Bb}}\,{\rm{ + Cc + D}}\,} \right|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^{\rm{2}}} + {B^{\rm{2}}} + {C^{\rm{2}}}} }}$

Nếu:

1) $d\left( {I,\,\left( P \right)} \right) > R:\,\left( P \right) \cap \left( C \right) = \emptyset $;

2) $d\left( {I,\,\left( P \right)} \right) < R:\,\left( P \right) \cap \left( C \right)$ là đường tròn $\left( {H;\,r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right)} \,} \right)$ với H là hình chiếu của I trên (P).

Vậy đường tròn trong không gian có phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\\ \,{\rm{Ax}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{By}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{Cz}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{D}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}} \end{array} \right.$

3) $d\left( {I,\,\left( P \right)} \right) = R:\,\left( P \right),\,\,\left( C \right)$ tiếp xúc nhau tại điểm H là hình chiếu của I trên (P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (C).

Hướng dẫn giải các dạng toán phương trình mặt cầu

Chúng ta sẽ xem xét 3 dạng bài tập liên quan đến phương trình mặt cầu, và cách giải từng dạng.

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu cho trước (dạng pt (2))

Cách 1: Đưa về dạng 1

Cách 2: Kiểm tra điều kiện ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\,\, \Rightarrow $  tâm và bán kính

Ví dụ:

            Cho phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{m^2}{\rm{x}}\, - 4m{\rm{y}}\,{\rm{ + }}\,8{m^2} - 4\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}}\;$

            Tìm điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu. Khi đó tìm tập hợp tâm của họ mặt cầu đó.

Giải:

Pt đã cho $ \Leftrightarrow {\left( {x - {m^2}} \right)^2} + {\left( {y - 2m} \right)^2} + {z^2} = {m^4} - 4{m^2} + 4$

là phương trình mặt cầu $ \Leftrightarrow \;\;{m^4} - 4{m^2} + 4 = \left( {{m^2} - 2} \right) > 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,m \ne \pm \sqrt 2 $

Khi đó tâm $I\,({m^2};2m;0)$. Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và: ${x_I} = \frac{{y_I^2}}{4}$

Dạng 2: Viết phương trình của mặt cầu khi biết một số yếu tố cho trước

Đi xác định tâm và bán kính của mặt cầu:

- Biết tâm: tìm bán kính;

- Biết bán kính: tìm tâm;

- Chưa biết tâm và bán kính:Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp xúc với 2 mặt phẳng cho trước.... thường xác định tâm trước sau đó đi tìm bán kính.

Bài 1:

Lập phương trình mặt cầu tâm I(4; 3; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với:       A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3).

Giải: Phương trình mp(ABC): $\frac{x}{3}\, + \,\frac{y}{3}\, + \frac{z}{3}\, = 1\; \Leftrightarrow \;x + y + z - 3 = 0$

Bán kính mặt cầu: $R\,\, = \,d\left( {I,\,\left( {ABC} \right)} \right)\; = \;2\sqrt 3 \quad  \Rightarrow $ Phương trình mặt cầu:

                                                 ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} = 12$

Bài 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường thẳng (d) có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {\rm{5x}}\, - \,4y\,{\rm{ + }}\,3{\rm{z}}\,\, + 20\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}}\\ \,3{\rm{x}}\, - \,4y\,{\rm{ + }}\,{\rm{z}}\,\, - 8\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}} \end{array} \right.$ tại 2 điểm A, B sao cho AB = 16

Giải:

cách giải bài tập phương trình mặt cầu

(d) đi qua M(11; 0; -25) và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)$

Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Có:

$IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 15\,\, \Rightarrow $Bán kính mặt cầu:

$R = \sqrt {I{H^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = 17\]. Vậy phương trình mặt cầu: \[{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 289$

Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu

Bài toán 1:

Bài toán 1:

Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I, bán kính R  tại điểm A

Cách giải:

mp(P) đi qua A và nhận véc tơ $\overrightarrow {IA} $ làm véc tơ pháp tuyến

Bài toán 2:

Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết véc tơ pháp tuyến của (P) là: $\overrightarrow n = \left( {A;\,B;\,C} \right)$

Cách giải: $\left( P \right):\,\,{\rm{Ax}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{By}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{Cz}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{D}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}}$

Có: $d\left( {I,\,\left( P \right)} \right) = R\, \Leftrightarrow \]\[\frac{{\left| {{\rm{Aa}}\,{\rm{ + Bb}}\,{\rm{ + Cc + D}}\,} \right|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^{\rm{2}}} + {B^{\rm{2}}} + {C^{\rm{2}}}} }} = R\,\, \Rightarrow $ tìm được D suy ra phương trình mp(P).

Chú ý:

            Trong bài toán cho biết véc tơ pháp tuyến dưới dạng:

- Biết (P) song song với một mặt phẳng hoặc song song với 2 đường thẳng cho trước.

- Biết vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.

Bài toán 3:

            Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa đường thẳng (d) cho trước.

viết phương trình mặt cầu

 

Cách giải:

 Xét đường thẳng (d) dưới dạng phương trình tổng quát;

- Viết phương trình chùm mặt phẳng đi qua (d);

- Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm ra mp(P)

phương trình mặt cầu trong không gian

 

Bài toán 4:

            Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S),

 tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) đi qua điểm C và:

1) Song song với đường thẳng (d) cho trước.

2) Vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước.

Cách giải:

1) Gọi:  \[\left( Q \right) = \left( {d;\,C} \right);\,\,\,a = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\; \Rightarrow \;a\] đi qua A và song song với d nên có pt xác định

Bài toán trở thành viết phương trình mp(P) đi qua a và tiếp xúc với mặt cầu (S)

2) Tương tự như trên với: d đi qua A và vuông góc với mp(Q).

Trắc nghiệm phương trình mặt cầu

Nếu các bài tập trên đây vẫn chưa đủ đô thì hãy thử sức với thật nhiều bài tập nữa từ Lize.vn nhé.


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm bài tập và hướng dẫn giải bài tập Miễn phí từ Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các bài tập và hướng dẫn giải bài tập từ thầy cô Lize nhé.

\
X