Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz

17:29 18/07/2017

Bài viết sẽ hướng dẫn các em cách Viết phương trình đường thẳng trong không gian, Vị trí tương đối của 2 đường thẳng, Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng, Góc giữa hai đường thẳng, Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Bên cạnh đó là một số bài tập phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án.

Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz

phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình tham số và phương trình chính tắc

Đường thẳng $d$ đi qua ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ có

- Phương trình tham số của $d:\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\ z = {z_0} + ct \end{array} \right.,\,\,t \in $$\mathbb{R}$

- Phương trình chính tắc của $d:\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\,,\,\,\,\left( {abc \ne 0} \right)$

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Đường thẳng $d$  đi qua ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$ và đường thẳng ${d_1}$  đi qua ${M_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {u'}  = \left( {a';b';c'} \right)$. Khi đó

+ $d$ và ${d_1}$ cùng nằm trong một mặt phẳng$ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{M_0}{M_1}}  = 0.$

+ $d$ và ${d_1}$ cắt nhau $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{M_0}{M_1}}  = 0\\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.$

+ $d$ và ${d_1}$ song song $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrowu ,\overrightarrow {u'} } \right] = \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}{M_1}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.$

+ $d$ và ${d_1}$ trùng nhau $ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}{M_1}} } \right] = \overrightarrow 0 $

+ $d$ và ${d_1}$ chéo nhau $ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {{M_0}{M_1}}  = \overrightarrow 0 $

Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

Đường thẳng $d$  đi qua ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ có $VTPT\,\,\,\overrightarrow n  = \left( {A;B;C} \right)$. Khi đó

+ $d$ cắt $\left( P \right) \Leftrightarrow Aa + Bb + Cc \ne 0$

+ $d//\left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}Aa + Bb + Cc + D \ne 0\\Aa + Bb + Cc = 0\end{array} \right.$

+ $d \subset \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}Aa + Bb + Cc = 0\\A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\end{array} \right.$

+ $d \bot \left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u //\overrightarrow n  \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \overrightarrow 0 $

Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$ và dường thẳng $d'$ có VTCP $\overrightarrow {u'}  = \left( {a';b';c'} \right)$. Gọi ${0^o} \le \alpha  \le {90^o}$ là góc giữa hai đường thẳng đó, ta có

$\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {aa' + bb' + cc'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}$

Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Đường thẳng $d$  đi qua ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ có $VTPT\,\,\,\overrightarrow n  = \left( {A;B;C} \right)$. Gọi ${0^o} \le \alpha  \le {90^o}$ là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P)  ta có:

$\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {Aa + Bb + Cc} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Khoảng cách từ điểm ${M_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ đến đường thẳng $\Delta $   có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u $:

$d\left( {{M_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$, ${M_o}$ là 1 điểm thuộc $\Delta $

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 

 

 

 

 

 

Hướng dẫn giải các dạng toán Viết phương trình đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}$ và mặt phẳng $P:$ $x - y - z - 1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng  đi qua $A(1;1; - 2)$, song song với mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với đường thẳng $d$

Giải.

$\vec u = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right]\, = \,(2;5; - 3)$.  nhận $\vec u$ làm VTCP  \[\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z + 2}}{{ - 3}}$

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: {$x = - t$;$y = - 1 + 2t$; $z = 2 + t$($t \in R$) và mặt phẳng (P): $2x - y - 2z - 3 = 0$.Viết phương trình tham số của đường thẳng  nằm trên (P), cắt và vuông góc với $\left( d \right)$

Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương trình $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$. Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua $d$.

Giải.

PTTS của d: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + t\\z = - t\end{array} \right.$. d có VTCP $\vec u = (2;1; - 1)$.

Gọi H là hình chiếu của M trên d  $H(1 + 2t; - 1 + t; - t)$  $\overrightarrow {MH} = (2t - 1; - 2 + t; - t)$

Ta có MH vuông góc d ⇔ $\overrightarrow {MH} .\vec u = 0$  $t = \frac{2}{3}$  $H\left( {\frac{7}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)$, $\overrightarrow {MH} = \left( {\frac{1}{3}\,\,;\,\, - \frac{4}{3}\,\,;\,\, - \frac{2}{3}} \right)$

Phương trình đường thẳng ∆: $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 4}} = \frac{z}{{ - 2}}$.

Gọi M' là điểm đối xứng của M qua d ⇔ H là trung điểm của MM' ⇒ $M'\left( {\frac{8}{3}; - \frac{5}{3}; - \frac{4}{3}} \right)$.

Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: ${\Delta _1}:\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 9}}{{ - 1}}$  và  ${\Delta _2}$:$\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 7t\\y = 1 - 2t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.$.

Giải.

Phương trình tham số của ${\Delta _1}$:$\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t'\\y = 3 + 2t'\\z = 9 - t'\end{array} \right.$

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung với D1 và D2

Þ M(7 + t¢;3 + 2t¢;9 – t¢) và N(3 –7t;1 + 2t;1 + 3t)

VTCP lần lượt của D1 và D2 là $\overrightarrow a $ = (1; 2; –1) và $\overrightarrow b $ = (–7;2;3)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  \bot \overrightarrow a \\\overrightarrow {MN}  \bot \overrightarrow b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow a  = 0\\\overrightarrow {MN}.\overrightarrow b  = 0\end{array} \right.$.  Từ đây tìm được t và t¢ Þ Toạ độ của M, N.

Đường vuông góc chung D chính là đường thẳng MN.

Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 3 + 2t\\z =  - 3 + t\end{array} \right.$  và mặt phẳng (P): $ - x + y + 2z + 5 = 0$. Viết phương trình đường thẳng (D) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là $\sqrt {14} $.

Giải.

Chọn A(2;3;$ - $3), B(6;5;$ - $2)$ \in $(d), mà A, B Î (P)  nên (d) Ì (P) .

Gọi $\vec u$ là VTCP của (${d_1}$) Ì (P), qua A và vuông góc với (d)  thì $\left\{ \begin{array}{l}\vec u \bot {{\vec u}_d}\\\vec u \bot {{\vec u}_P}\end{array} \right.$

nên ta chọn $\vec u = [{\vec u_d},{\vec u_P}] = (3; - 9;6)$.

Phương trình của đường thẳng (${d_1}$) :$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 3 - 9t\\z =  - 3 + 6t\end{array} \right.(t \in R)$

Lấy M(2+3t; 3$ - $9t; $ - $3+6t) Î(${d_1}$) . (D) là đường thẳng  qua M và song song  với (d).

Theo đề : $AM = \sqrt {\,14}  \Leftrightarrow \sqrt {\;9{t^2} + 81{t^2} + 36{t^2}}  = \sqrt {14}  \Leftrightarrow {t^2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow t =  \pm \frac{1}{3}$

  • t = $ - \frac{1}{3}$$ \Rightarrow $M(1;6;$ - $5) $ \Rightarrow ({\Delta _1}):\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 6}}{2} = \frac{{z + 5}}{1}$
  • t = $\frac{1}{3}$$ \Rightarrow $M(3;0;$ - $1) $ \Rightarrow ({\Delta _2}):\frac{{x - 3}}{4} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$

Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng D: $\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{2}$ và mặt phẳng (P): $x - y + z - 5 = 0$. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng D một góc ${45^0}$.

Giải.

Gọi ${\vec u_d},{\vec u_\Delta },{\vec n_P}$ lần lượt là các VTCP của d, D và VTPT của (P).

Giả sử ${\vec u_d} = (a;b;c)\,\,\,({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0)$.

+ Vì d Ì (P) nên ${\vec u_d} \bot {\vec n_P}$ Þ $a - b + c = 0$ Û $b = a + c$    (1)

+ $\left( {\widehat {d,\Delta }} \right) = {45^0}$ Û $\frac{{\left| {a + 2b + 2c} \right|}}{{3\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ Û $2{(a + 2b + c)^2} = 9({a^2} + {b^2} + {c^2})$      (2)

Từ (1) và (2) ta được: $14{c^2} + 30{\rm{a}}c = 0$ Û $\left[ \begin{array}{l}c = 0\\15{\rm{a}} + 7c = 0\end{array} \right.$

+ Với c = 0: chọn a = b = 1 Þ PTTS của d: $\left\{ {x = 3 + t;\,\,y =  - 1 - t;\,\,z = 1} \right.$

+ Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8

⇒ PTTS của d: $\left\{ {x = 3 + 7t;\,\,y =  - 1 - 8t;\,\,z = 1 - 15t} \right.$.

Trên đây là một dạng toán phổ biến về viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz. Với từng dạng toán, các em hãy xem kỹ các ví dụ để đưa ra cách viết phương trình đường thẳng hợp lý nhất.

Bài tập phương trình đường thẳng Oxyz có đáp án

Bây giờ chúng ta hãy luyện tập với một vài bài tập phương trình đường thẳng có đáp án để kiểm tra lại lý thuyết nhé.

Share bài viết

Từ khoá

Khóa Ôn thi THPT Quốc Gia môn Tiếng Anh

Tạ Thanh Hiền

Học phí: 499K

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm bài tập và hướng dẫn giải bài tập Miễn phí từ Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các bài tập và hướng dẫn giải bài tập từ thầy cô Lize nhé.

X