Trắc nghiệm phương trình mũ - PP giải dùng tính đơn điệu hàm số

11:57 29/11/2016

Một trong các cách giải phương trình mũ hiệu quả đó là sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Bài viết sẽ giúp các em nắm rõ hơn cách giải này. Cùng với đó các em sẽ được luyện tập với một số bài tập trắc nghiệm phương trình mũ.

Phương trình mũ

giải phương trình mũ

Cách giải sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp

Đoán nghiệm. Chứng minh nghiệm duy nhất.

Chuyển phương trình đã cho về dạng f(x) = k

Nhẩm một nghiệm x = x0, ta chứng minh x = x0 là nghiệm duy nhất.

- Với x = x0   => f(x) = f(x0) = k  , suy ra x = x0 là nghiệm phương trình.

- Với x > x0   => f(x) > f(x0) = k  , suy ra phương trình vô nghiệm.

- Với x < x => f(x) < f(x0) = k  , suy ra phương trình vô nghiệm.

Tính chất 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến)  trên (a; b) thì số nghiệm của phương trình: f(x) = k (trên  (a; b)) không nhiều hơn một và f(u) = f(v)  <=>  u = v  ∀ u, v ∈ (a; b).

hướng dẫn giải phương trình mũ

Bài tập mẫu

Câu 1.  Giải phương trình $x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3$.

Giải.  TXĐ: $x > 0.$

Biến đổi phương trình về dạng ${2.3^{{{\log }_{_2}}x}} = 3 - x$.

Ta thấy:

- Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến.

- Vế phải của phương trình là một hàm nghịch biến.

Do đó nếu phương trình có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.

Nhận thấy rằng x = 1 là một nghiệm của phương trình, do đó x = 1 là nghiệm duy nhất

Câu 2. Giải phương trình ${2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} = {\left( {x - 1} \right)^2}$.

Giải. Ta có ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - x \ge x - 1$

$ \Leftrightarrow {2^{{x^2} - x}} \ge {2^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} \le 0$ (do hàm số $y = {2^t}$ là hàm đồng biến).

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} VT \le 0\\ VP \ge 0 \end{array} \right.$, do đó $VT = VP \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\ {2^{x - 1}} = {2^{{x^2} - x}} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.$

Vậy tập nghiệm phương trình là x = 1

Câu 3. Giải phương trình ${\log _3}\left( {\sqrt {{x^2} - 3x + 2} + 2} \right) + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{3x - {x^2} - 1}} = 2.$

Giải. Điều kiện: ${x^2} - 3x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le 1\\ x \ge 2 \end{array} \right..$

Đặt $u = \sqrt {{x^2} - 3x + 2} $ , điều kiện $u \ge 0$ suy ra ${x^2} - 3x + 2 = {u^2} \Leftrightarrow 3x - {x^2} - 1 = 1 - {u^2}$, khi đó phương trình đã cho có dạng

${\log _3}\left( {u + 2} \right) + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{1 - {u^2}}} = 2$ .

Xét hàm số $f\left( u \right) = {\log _3}\left( {u + 2} \right) + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{1 - {u^2}}} = {\log _3}\left( {u + 2} \right) + \frac{1}{5}{.5^{{u^2}}}$:

+ Tập tác định $D = \left[ {0; + \infty } \right)$

+ Đạo hàm $f' = \frac{1}{{\left( {u + 2} \right)\ln 3}} + \frac{1}{5}.2u{.5^{{u^2}}}.\ln 3 > 0,\,\,\,\forall u \in D.$ Suy ra hàm số $f\left( u \right)$ đồng biến trên D.

Mặt khác $f\left( 1 \right) = {\log _3}\left( {1 + 2} \right) + \frac{1}{5}.5 = 2$

Do đó phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $x = 1.$

Trắc nghiệm Phương trình mũ

Phương trình mũ sẽ là 1 dạng toán không thể bỏ qua trong chương trình Ôn thi THPT quốc gia, đặc biệt là khi hình thức thi chuyển từ tự luận -> trắc nghiệm. Luyện tập với một số bài tập sau đây nhé:

Nếu các bài tập trên đây vẫn chưa đủ đô thì hãy thử sức với thật nhiều bài tập nữa từ Lize.vn nhé.


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé.

X