Trắc nghiệm Số phức và các phép toán về Số phức

17:33 13/03/2017

Bài học sẽ hướng dẫn các em cách giải 1 số dạng bài tập số phức và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, hay về Số phức liên hợp. Bên cạnh đó, các em sẽ được luyện tập với các bài tập trắc nghiệm số phức cơ bản và nâng cao.

bài tập số phức

Số phức và các phép toán về số phức

Số phức là gì?

  • Tập hợp số phức: C
  • Số phức (dạng đại số): $z = a + bi$

(, $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo, $i$ là đơn vị ảo, ${i^2} =  - 1$)

  • z là số thực $ \Leftrightarrow $ phần ảo của $z$ bằng $0$ $\left( {b = 0} \right)$

z là số thuần ảo $ \Leftrightarrow $ phần thực của $z$ bằng $0$ $\left( {a = 0} \right)$

Số $0$ vừa là số thực vừa là số ảo.

  • Hai số phức bằng nhau: $z = a + bi,\,\,z' = a' + b'i$

$z = z' \Leftrightarrow a + bi = a' + b'i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.$ , a,b,a',b' thuộc R

Biểu diễn hình học của số phức

Số phức  được biểu diễn bởi điểm $M\left( {a;b} \right)$ hay bởi $\overrightarrow u \left( {a;b} \right)$ trong $mp\left( {Oxy} \right)$ (mp phức)

số phức là gì

Các phép toán về số phức

Cộng và trừ số phức

Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z' = a' + b'i$, khi đó

  • $z + z' = \left( {a + a'} \right) + \left( {b + b'} \right)i$
  • $z - z' = \left( {a - a'} \right) + \left( {b - b'} \right)i$
  • Số đối của $z = a + bi$ là $ - z =  - a - bi$
  • $\overrightarrow u $ biểu diễn $z$, $\overrightarrow {u'} $ biểu diễn $z'$ thì $\overrightarrow u  + \overrightarrow {u'} $ biểu diễn số phức $z + z'$ và $\overrightarrow u  - \overrightarrow {u'} $ biểu diễn $z - z'$.

Nhân hai số phức

  • $zz' = \left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) = \left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i$
  • $kz = k\left( {a + bi} \right) = ak + kbi$, ()

Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của số phức $z = a + bi$ là $\overline z  = a - bi$

  • $\overline {\overline z }  = z$; $\overline {z \pm z'}  = \overline z  \pm \overline {z'} $; $\overline {z.z'}  = \overline z .\overline {z'} $; $\overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)}  = \frac{{\overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} }}$;   $z.\overline z  = {a^2} + {b^2}$
  • $z$ là số thực $ \Leftrightarrow z = \overline z $;       $z$ là số ảo $ \Leftrightarrow z =  - \overline z $

Môđun của số phức

$z = a + bi$ $ \Rightarrow $ môđun của số phức $z$ kí hiệu là $\left| z \right|$.

  •  $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {z.\overline z }  = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|$
  •  $\left| z \right| \ge 0\,\,,\forall z \in $ C, $\left| z \right| = 0 \Leftrightarrow z = 0$
  • $\left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|$
  • $\left| {\frac{z}{{z'}}} \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{\left| {z'} \right|}}$
  • $\left| {\left| z \right| - \left| {z'} \right|} \right| \le \left| {z \pm z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|$

Chia hai số phức

  • ${z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}.\overline z \,\,\,\left( {z \ne 0} \right)$
  • $\frac{{z'}}{z} = z'.{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z'.\overline z }}{{z.\overline z }}$
  • $\frac{{z'}}{z} = w \Leftrightarrow z' = wz$

Ví dụ

 

Câu 1. Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và tính mô đun của số phức $z$  trong các trường hợp sau

a) $z = \left( {2 + 2i} \right) - 2i\left( {1 - 3i} \right)$

b) $z = {\left( {\sqrt 2  + i} \right)^3} - {\left( {\sqrt 2  - i} \right)^3}$

c) $\overline z  = {\left( {\sqrt 2  + i} \right)^2}\left( {1 - \sqrt 2 i} \right)$

Lời giải.

a) Ta có

$z = \left( {2 + 2i} \right) - 2i\left( {1 - 3i} \right) = 2 + 2i - 2i - 6 =  - 4$.

Do đó số phức $z$ có: phần thực bằng -4, phần ảo bằng 0, $\overline z  =  - 4$, $\left| z \right| = 4$.

b) Ta có

$z = {\left( {\sqrt 2  + i} \right)^3} - {\left( {\sqrt 2  - i} \right)^3} = 2\sqrt 2  + 6i + 3{i^2}\sqrt 2  + {i^3} - \left( {2\sqrt 2  - 6i + 3{i^2}\sqrt 2  - {i^3}} \right) = 12i + 2{i^3} = 12i - 2i = 10i.$

Do đó số phức $z$ có: phần thực bằng 0, phần ảo bằng 10, $\overline z  =  - 10i$, $\left| z \right| = 10$.

c) Ta có

$\overline z  = {\left( {\sqrt 2  + i} \right)^2}\left( {1 - \sqrt 2 i} \right) = \left( {1 + 2\sqrt 2 i} \right)\left( {1 - \sqrt 2 i} \right) = 5 + \sqrt 2 i.$

$ \Rightarrow z = 5 - \sqrt 2 i$.

Do đó số phức $z$ có: phần thực bằng 5, phần ảo bằng $ - \sqrt 2 $, $\overline z  = 5 + \sqrt 2 i$, $\left| z \right| = 3\sqrt 3 $.

Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn $\overline z  = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 - i}}.$ Tìm môđun của số phức $\overline z  + iz$.

Lời giải.

Ta có

 \[\overline z  = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 - i}} = \frac{{1 - 3\sqrt 3 i + 3{{\left( {\sqrt 3 i} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 - i}} = \frac{{1 - 3\sqrt 3 i - 9 + 3\sqrt 3 i}}{{1 - i}} = \frac{{ - 8}}{{1 - i}} =  - 4 - 4i.\]

Suy ra $z =  - 4 + 4i$. Nên ta có $\overline z  + iz =  - 4 - 4i + i\left( { - 4 + 4i} \right) =  - 8 - 8i.$

Vậy $\left| {\overline z  + iz} \right| = \sqrt {{8^2} + {8^2}}  = 8\sqrt 2 .$

Câu 3.  Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {2 + i} \right)z + \frac{{2\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + i}} = 7 + 8i.$ Tìm mô đun của số phức $w = z + i + 1.$

Lời giải. Ta có

$\begin{array}{l}

\left( {2 + i} \right)z + \frac{{2\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + i}} = 7 + 8i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z + \frac{{2\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{2} = 7 + 8i\\

 \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z + \frac{{2\left( {3 + i} \right)}}{2} = 7 + 8i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 4 + 7i\\

 \Leftrightarrow z = \frac{{4 + 7i}}{{2 + i}} = 3 + 2i.

\end{array}$

Do đó ta có

$w = z + 1 + i = 4 + 3i.$

Vậy $|w| = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5.$

Câu 4. Tìm tất cả các số phức z, biết ${z^2} = {\left| z \right|^2} + \overline z .$

Lời giải. Gọi $z = x + yi\,\,\,(x,y \in \backslash mathbb\{ R\} ).$ Ta có

$\begin{array}{l}{z^2} = {\left| z \right|^2} + \overline z  \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = {\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)^2} + \left( {x - yi} \right) \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = {x^2} + {y^2} + x - yi\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = {x^2} + {y^2} + x\\2xy =  - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{y^2} + x = 0\\y\left( {2x + 1} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.$  hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2}\\y =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.$ .

Vậy $z = 0$ hoặc $z =  - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ hoặc $z =  - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.

Bài tập trắc nghiệm

Nếu các bài tập trên đây vẫn chưa đủ đô thì hãy thử sức với thật nhiều bài tập nữa từ Lize.vn nhé.


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé.

X