Trắc nghiệm Toán: Biện luận số nghiệm của phương trình

13:37 02/11/2016

Học sinh lớp 12 chắc hẳn rất quen thuộc với bài tập dạng Biện luận theo m số nghiệm của phương trình, đây cũng sẽ là một trong những dạng bài tập các em có thể gặp phải, khi hình thức thi môn Toán đã chuyển sang Trắc nghiệm.

Phương pháp giải bài tập Biện luận số nghiệm của phương trình ở đây sẽ là phương pháp đồ thị, một phương pháp trực quan và rất dễ sử dụng.

Biện luận số nghiệm của phương trình

biện luận số nghiệm của phương trình

Phương pháp Đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình:  f(x) = g(x)              (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)

Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau

Dạng 1:  F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m        (1)

phương pháp biện luận nghiệm của phương trình

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)

d: y = m

  • d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
  • Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m)   (2)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.

Dạng 3: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m                (3)          (k: không đổi)

Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)

d: y = kx + m

  • Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m).
  • Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …  của (C) có hệ số góc k.
  • Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, … để biện luận.

Dạng 4: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m(x – x0) + y0    (4)

Khi đó (4) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)

d: y = m(x – x0) + y0

  • d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0).
  • Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C) đi qua M0.
  • Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận.

Chú ý:   

  • Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện: a £ x £ b thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với a £ x £ b.
  • Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.

Ví dụ

Dưới đây sẽ là một số câu hỏi biện luận theo m số nghiệm của phương trình có thể xuất hiện ở dạng Trắc nghiệm Toán. Cùng tìm hiểu nhé.

VD1 : Cho hs $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ (C).

a) biện luận số nghiệm phương trình : ${x^3} - 3{x^2} + 2 = m$.

b) Tìm m để phương trình ${x^3} - 3{x^2} + 3 = m$ có 3 nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phương trình $\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = m$ có 6 nghiệm phân biệt.

d) Tìm m để phương trình ${\left| x \right|^3} - 3{x^2} + 2 = m$ có 2 nghiệm phân biệt.

Giải

Đồ thị (C)

bài tập trắc nghiệm biện luận số nghiệm của phương trình

${x^3} - 3{x^2} + 2 = m$ (*)$ \Leftrightarrow y = m$ (D)

Dựa vào đồ thị (C), đường thẳng (D) cắt (C) tại bao nhiêu giao điểm thì phương trình (*) có bấy nhiêu nghiệm.

  • $\left[ \begin{array}{l} m < - 2\\ m > 2 \end{array} \right.$=> (D) cắt (C) tại 1 điểm => pt (*) có 1 nghiệm.
  • $\left[ \begin{array}{l} m = - 2\\ m = 2 \end{array} \right.$=> (D) cắt (C) tại 2 điểm => pt (*) có 2 nghiệm (1 kép, 1 đơn).
  • $ - 2 < m < 2$=> (D) cắt (C) tại 3 điểm => pt (*) có 3 nghiệm phân biệt.

c) ${x^3} - 3{x^2} + 3 = m$(*)$ \Leftrightarrow y = m - 1$ (D)

Dựa vào đồ thị (C), phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt  (D) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Vậy: $ \Leftrightarrow - 2 < m - 1 < 2 \Leftrightarrow - 1 < m < 3$

d) $\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = m$ (*)

$y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 3{x^2} + 2;({x^3} - 3{x^2} + 2 \ge 0)\\ - {x^3} + 3{x^2} - 2;({x^3} - 3{x^2} + 2 < 0) \end{array} \right.$

  • Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.
  • Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
  • Đồ thị (C¢) là hợp của hai phần trên.

Vậy phương trình (*) có 6 nghiệm phân biệt ⇔ (D) cắt (C’) tại 6 điểm phân biệt ⇔ 0 < m < 2

e) ${\left| x \right|^3} - 3{x^2} + 2 = m$

$y = {\left| x \right|^3} - 3{x^2} + 2 = \left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 3{x^2} + 2;(x \ge 0)\\ - {x^3} - 3{x^2} + 2;(x < 0) \end{array} \right.$

  • Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.
  • Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
  • Đồ thị (C¢) là hợp của hai phần trên.

Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt  (D) cắt (C’) tại 2 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 2\\ m > 2 \end{array} \right.$

Trên đây là một số bài tập ví dụ về các dạng bài tập trắc nghiệm có thể khai thác từ Biện luận nghiệm của phương trình, cũng như lời giải đi kèm. Để luyện tập trực tiếp với các bài tập trắc nghiệm Biện luận nghiệm của phương trình theo m, các em hãy truy cập đường link dưới đây:


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Khóa Toán Học lớp 11

Thầy
Nguyễn Phụ
Hoàng Lân

Học phí: 349K

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm bài tập và hướng dẫn giải bài tập Miễn phí từ Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các bài tập và hướng dẫn giải bài tập từ thầy cô Lize nhé.

X