Trắc nghiệm ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể

15:35 24/02/2017

Bài học này sẽ hướng dẫn các em cách ứng dụng tích phân vào dạng bài tập tính thể tích vật thể, trong đó có tính thể tính khối tròn xoay. Phía cuối bài sẽ là 1 số bài tập trắc nghiệm mà có thể đề thi năm nay sẽ khai thác.

Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể

ứng dụng tích phân tính thể tích

Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian tọa độ $Oxyz.$ Gọi $B$ là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $a$ và $b.$ Gọi $S\left( x \right)$ là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x,\left( {a \le x \le b} \right).$ Giả sử $S\left( x \right)$ là một hàm số liên tục. Khi đó thể tích $V$ của vật thể $B$ là

$V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} .$

Tính thể tích khối tròn xoay

a) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right].$ Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$trục $Ox$  và hai đường thẳng $x = a,{\rm{ }}x = b$ khi quay xung quanh trục $Ox$  là:
$V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $

* Cho hàm số $x = g\left( y \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $x = g\left( y \right),$trục $Oy$ và hai đường thẳng $y = a,y = b$  khi quay xung quanh trục $Oy$  là:
$V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $

b) Cho hai hàm số $y = f\left( x \right)$  và $y = g\left( x \right)$  liên tục trên$\left[ {a;b} \right].$  Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị $y = f\left( x \right)$,$y = g\left( x \right)$  và hai đường thẳng $x = a,x = b$ khi quay quanh trục$Ox$  là:
$V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .$

Bài tập mình họa

Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể: Nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0;$ $x = \frac{\pi }{2}$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left( {0 \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)$ là một hình vuông cạnh $\sqrt {{{\sin }^3}x} $.

Lời giải.

Diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ được cho bởi

$S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {{{\sin }^3}x} } \right)^2} = {\sin ^3}x = \frac{1}{4}\left( { - 3\cos x - \sin 3x} \right)$

Khi đó thể tích vật thể được cho bởi

$V = \int\limits_{ - 1}^1 {S\left( x \right)dx}  = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x - \sin 3x} \right)}  = \frac{2}{3}$

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {e^x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0;x = 3$.

Lời giải.

Thể tích vật thể được cho bởi $V = \pi \int\limits_0^3 {{y^2}dx}  = \pi \int\limits_0^3 {{e^{2x}}dx}  = \left. {\frac{\pi }{2}{e^{2x}}} \right|_0^3 = \frac{\pi }{2}\left( {{e^6} - 1} \right).$

Ví dụ 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 3 - {x^2}$, trục tung và đường thẳng $y = 1.$

Lời giải.

Biến đổi hàm số về dạng

$y = 3 - {x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 3 - y$ (cần có điều kiện là $3 - y \ge 0 \Leftrightarrow y \le 3$).

Khi đó thể tích vật thể được cho bởi

$V = \pi \int\limits_1^3 {{x^2}dy}  = \pi \int\limits_1^3 {\left( {3 - y} \right)dy}  = 2\pi .$

Bài tập trắc nghiệm

Nếu các bài tập trên đây vẫn chưa đủ đô thì hãy thử sức với thật nhiều bài tập nữa từ Lize.vn nhé.


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Khóa Toán Học lớp 10

Phùng Thanh Lam

Học phí: 349K

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các Phương pháp học tập hiệu quả từ thầy cô Lize nhé.

X