Trắc nghiệm xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp đa diện

15:41 10/02/2017

Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp đa diện có thể là 1 trong các dạng bài tập trắc nghiệm về hình học được khai thác trong kỳ thi THPT quốc gia 2017. Bài học sẽ giúp các em hiểu cách giải các dạng bài tập trắc nghiệm này.

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện

trắc nghiệm xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu $\left( S \right)$ ngoại tiếp hình đa diện $\left( H \right)$ khi các đỉnh của $\left( H \right)$ nằm trên mặt cầu.

- Một hình chóp nội tiếp trong mặt cầu $\left( S \right)$ khi và chỉ khi đáy của hình chóp là một đa giác nôi tiếp được.

- Một ình lăng trụ đứng nội tiếp trong mặt cầu $\left( S \right)$ khi và chỉ khi đáy của hình lăng trụ là các đa giác đáy nội tiếp được.

- Hình tứ diện, lăng trụ đều, hình chóp đều và các khối đa diện đều đều nội tiếp được một mặt cầu.

 Chú ý:

- Trong không gian tập hợp của những điểm cách đều cách đỉnh của một đa giác là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đa  giác tại tâm của đa giác đó (ta gọi đó là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đó).

- Trong không gian tập hợp những điểm cách đều hai điểm $A$ và $B$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB.$

Các dạng bài tập

Dạng 1. Hình đa diện có các mặt là những tam giác vuông có chung cạnh huyền

Hướng dẫn giải: Gọi $I$ là trung điểm của cạnh huyền chung.

Khi đó, tâm  của mặt cầu là $I$ và bán kính là nửa cạnh huyền đó.

Ví dụ. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $SA$ vuông góc với đáy, $SA = AB = a.$  Gọi $H$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC.$ Chứng minh hình đa diện $AHKBC$ nội tiếp được trong mặt cầu $\left( S \right)$. Tìm tâm và bán kính của $\left( S \right)$ theo $a.$

Giải.

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH.$

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot HC \Rightarrow \widehat {AHC} = {90^0}$

Lại có $\widehat {ABC} = \widehat {AKC} = {90^0}$, suy ra hình đa diện $AHKBC$ nội tiếp trong mặt cầu đường kính $AC.$

Tâm $I$ là trung điểm của $AC$ và bán kính $R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

Dạng 2. Hính chóp $S.{A_1}{A_2}...{A_n}$ có $O$ là tâm của đa giác đáy.

Hướng dẫn giải:

Gọi $d$ là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ($d$ đi qua $O$ và vuông góc với mặt phẳng đáy).

Dựng mặt phẳng trung trực $\left( P \right)$  của đoạn thẳng $S{A_1}$, khi đó tâm $I$ của mặt cầu $\left( S \right)$ chính là giao điểm của $\left( P \right)$ và $d.$

Ví dụ. Cho hình chóp SABC  có SA, SB, SC vuông góc với nhau đôi một. Cho $SA = a,SB = b,SC = c.$Hãy tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.

Giải.

 

Gọi $I$ là trung điểm của AB, suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

Vẽ $\Delta  \bot \left( {SAB} \right)$ tại I, khi đó $\Delta $ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

Trong mặt phẳng tạo bởi $\Delta $ và SC (do $\Delta //SC)$, kẻ trung trực của SC cắt $\Delta $ tại O. Ta có $OA = OB = OC = OS$ nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC.$

Ta có bán kính của mặt cầu là

$R = SO = \sqrt {S{I^2} + I{O^2}}  = \sqrt {\frac{{A{B^2}}}{4} + \frac{{S{C^2}}}{4}}  = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$

Dạng 3. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng

Hướng dẫn giải:

- Gọi $O$ và $O'$ là 2 tâm của 2 đáy $ \Rightarrow OO'$ vuông góc với hai đáy và $OO'$ chính là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Gọi $I$ là trung điểm của $OO'$ suy ra $IA = IA'$. Vậy $I$ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng.

Ví dụ. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $AC = b$, góc $\widehat {ACB} = {60^0}$. Đường chéo $BC'$ của mặt bên $BB'C'C$  tạo với mặt phẳng $\left( {AA'C'C} \right)$ một góc ${30^0}$.  Xác định tâm và bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ ngoại tiếp hình lăng trụ.

Giải.

mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng

 

Gọi $O$ và $O'$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B'C'$

$ \Rightarrow $ $O,O'$ là tâm của $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ $ \Rightarrow $ $OO'$ là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Gọi $I$ là trung điểm của $OO'$, I thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy nên $IA = IB = IC$ và $IA' = IB' = IC'.$

Mặt khác $\Delta IOA = \Delta IO'A'$ (cgv-cgv) $ \Rightarrow IA = IA'$ do đó $IA = IB = IC = IA' = IB' = IC'$.

Vậy $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ \Rightarrow $ bán kính $R = IB = \frac{{BC'}}{2}.$

Ta có  $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {AA'C'C} \right) \Rightarrow \widehat {BC'A} = {30^0}$

Tam giác $ABC'$ vuông tại $A$ có $BC' = \frac{{AB}}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{{AC\tan {{60}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{{b\sqrt 3 }}{{\frac{1}{2}}} = 2b\sqrt 3  \Rightarrow R = b\sqrt 3 .$

Trắc nghiệm tự luyện

Nếu các bài tập trên đây vẫn chưa đủ đô thì hãy thử sức với thật nhiều bài tập nữa từ Lize.vn nhé.


Đã đến lúc làm quen với áp lực của Đề thi thử rồi đó!!! Đăng ký Khóa Luyện đề của Lize.vn để luyện tập thêm với thật nhiều đề thi thử chất lượng được biên soạn từ các thầy cô kinh nghiệm cũng như các đề thi từ các trường THPT chuyên hàng đầu trên cả nước.

Share bài viết

Từ khoá

Có thể em cần biết?

Tên bài giảng

Bài giảng về "Tên bài giảng" - Thầy/Cô "Tên thầy/cô dạy khóa học"

Nhận thêm bài tập và hướng dẫn giải bài tập Miễn phí từ Lize nhé!

Đăng ký thành viên Lize để nhận các bài tập và hướng dẫn giải bài tập từ thầy cô Lize nhé.

\
X